Seja \Omega a região do plano x y delimitada por
2 x+y=1, x+y=1, y=x^{3}, y=3 x^{3}
Calcule
\iint_{\Omega} \frac{(1+2 y) y^{2}}{x^{11}} d x d y
Resposta: 26/3

Passo 1

Vou deixar bem claro o que o enunciado pede e as informações que ele dá.
  • Enunciado: seja \Omega a região do plano xy delimitada pelas quatro curvas
    2x+y=1,\qquad x+y=1,\qquad y=x^{3},\qquad y=3x^{3}.
    Pede-se calcular a integral dupla
    \iint_{\Omega} \frac{(1+2y)\,y^{2}}{x^{11}}\,dx\,dy.
  • O que está pedido: calcular o valor numérico da integral dupla sobre a região \Omega.
  • Informações relevantes:
    1. As duas primeiras são retas: x+y=1 e 2x+y=1.
    2. As outras duas são curvas do tipo potência: y=x^{3} e y=3x^{3}.
    3. A região \Omega é a área limitada por estas quatro curvas (duas retas e duas curvas cúbicas), ou seja, os contornos da região são exatamente essas quatro curvas.
    4. A integranda é \dfrac{(1+2y)\,y^{2}}{x^{11}}.
Observação final (importante para o desenvolvimento): para organizar a integração e simplificar a integranda, vou fazer a mudança de variáveis
s = x+y,\qquad t = x.
Essa escolha é natural porque as retas envolvidas são expressas de maneira simples em termos de s e t (por exemplo x+y=1 vira s=1), e a outra dimensão t=x preserva a potência x^{11} do denominador em uma forma simples. No passo seguinte começo a transformação e a descrição da região em coordenadas (s,t).

Passo 2

Mudança de variáveis e cálculo do jacobiano.
  • Definição:
    s = x+y,\qquad t = x.
    Dessa forma temos as expressões inversas:
    x = t,\qquad y = s - t.
  • Jacobiano: calcular \dfrac{\partial(x,y)}{\partial(s,t)}.
    x_s = 0,\quad x_t = 1,\qquad y_s = 1,\quad y_t = -1.
    Assim
    \det\frac{\partial(x,y)}{\partial(s,t)} = \begin{vmatrix} 0 & 1\\[4pt] 1 & -1 \end{vmatrix} = 0\cdot(-1) - 1\cdot 1 = -1.
    Logo |\det| = 1 e
    dx\,dy = | \det |\, ds\,dt = ds\,dt.
    Ou seja, a mudança (x,y)\mapsto(s,t) tem jacobiano de módulo 1 — muito prático.
  • Reescrever a integranda em (s,t). Lembrando y=s-t e x=t:
    \frac{(1+2y)\,y^{2}}{x^{11}}=\frac{\bigl(1+2(s-t)\bigr)\,(s-t)^{2}}{t^{11}}.
    Portanto a integral fica
    \iint_{\Omega}\frac{(1+2y)\,y^{2}}{x^{11}}\,dx\,dy =\iint_{\tilde\Omega}\frac{\bigl(1+2(s-t)\bigr)\,(s-t)^{2}}{t^{11}}\,ds\,dt,
    onde \tilde\Omega é a imagem da região \Omega no plano (s,t).
No próximo passo eu descrevo a região \tilde\Omega em (s,t) — ou seja, determino os limites de integração — e escolho uma ordem conveniente de integração.]

Passo 3

Descrever a região \tilde\Omega no plano (s,t).
Recordando as quatro curvas em termos de (x,y):
  • x+y=1 vira s=1.
  • 2x+y=1 pode ser escrita como s+t=1 (pois 2x+y = x+(x+y)=t + s); então 2x+y=1 é s+t=1 ou s = 1 - t.
  • y=x^{3} vira s - t = t^{3}, ou seja s = t + t^{3}.
  • y=3x^{3} vira s - t = 3t^{3}, ou seja s = t + 3t^{3}.
Portanto \tilde\Omega é a região do plano (s,t) delimitada pelas curvas verticais/oblíquas e pelas curvas s=t+t^{3} e s=t+3t^{3}. Em palavras: para cada t dentro de um certo intervalo, s fica entre duas curvas (a intersecção entre o intervalo entre as duas curvas cúbicas e o intervalo entre as duas retas).
É conveniente trabalhar com a variável w=s-t (que é exatamente y). De fato, colocando w=s-t obtemos w=y, e a integranda fica muito simples em termos de w e t:
\frac{\bigl(1+2(s-t)\bigr)\,(s-t)^{2}}{t^{11}} = \frac{(1+2w)w^{2}}{t^{11}}.
E ds\,dt = dw\,dt (já que s=t+w e \det também é 1 para a transformação (s,t)\mapsto(w,t)).
Agora, para fixar os limites em w (que é y) e t (que é x), observe:
  • As curvas y=x^{3} e y=3x^{3} tornam-se w=t^{3} e w=3t^{3}.
  • As retas s=1 e s=1-t tornam-se w=1-t - t = 1-2t e w=1 - t, respectivamente (já que w=s-t).
Logo, para um dado t, o valor de w (ou seja y) deve pertencer à interseção dos intervalos
[t^{3},\,3t^{3}]\quad\text{e}\quad[\,1-2t,\,1-t\,].
Isto nos diz que, para cada t, os limites de w são
w_{\min}(t)=\max\{t^{3},\,1-2t\},\qquad w_{\max}(t)=\min\{3t^{3},\,1-t\}.
A forma desses máximos e mínimos muda quando as curvas se cruzam; portanto temos que particionar o intervalo de t em subintervalos onde a ordem destas quatro funções é fixa. Os pontos críticos (valores de t onde há troca de ordem) são exatamente as raízes das equações que ocorrem quando duas dessas expressões coincidem, a saber:
\begin{aligned} & t^{3}=1-2t,\\\ & 3t^{3}=1-2t,\\\ & t^{3}=1-t,\\\ & 3t^{3}=1-t. \end{aligned}
Cada uma destas equações é um cúbico; marquei as raízes pela ordem crescente:
t_a:\;3t^{3}+2t-1=0,\qquad t_b:\;t^{3}+2t-1=0,
t_c:\;3t^{3}+t-1=0,\qquad t_d:\;t^{3}+t-1=0.
Numericamente (apenas para visualizar) tem-se aproximadamente
t_a\approx0,4019,\quad t_b\approx0,4479,\quad t_c\approx0,5317,\quad t_d\approx0,6823.
A partir da análise da ordem das curvas para valores de t entre esses pontos (verificação feita testando valores intermediários), obtém-se a partição do intervalo de t em três subintervalos com limites de w bem definidos:
  1. Para t\in[t_a,t_b]: temos t^{3}<1-2t<3t^{3}<1-t. Logo
    w\in[\,1-2t,\;3t^{3}\,].
  2. Para t\in[t_b,t_c]: temos 1-2t\le t^{3}\le 3t^{3}\le 1-t. Logo
    w\in[\,t^{3},\;3t^{3}\,].
  3. Para t\in[t_c,t_d]: temos 1-2t< t^{3}<1-t\le 3t^{3}. Logo
    w\in[\,t^{3},\;1-t\,].
Portanto a integral dupla separa-se em soma de três integrais (uma em cada subintervalo de t), cada uma com o integrando simples em w e com divisão por t^{11}.
No próximo passo eu calculo as integrais internas em w (são polinomiais) e depois integro em t, simplificando com as relações cúbicas nos pontos extremos para cancelar as raízes e obter um valor racional.

Passo 4

Calcular as integrais internas em w (integração em relação a w primeiro).
A primitiva em w do integrando \dfrac{(1+2w)w^{2}}{t^{11}} (com t tratado como parâmetro) é simples: escrevendo (1+2w)w^{2}=w^{2}+2w^{3},
\int (w^{2}+2w^{3})\,dw=\frac{1}{3}w^{3}+\frac{1}{2}w^{4}.
Portanto, para cada t, a integral interna de w entre w_{\min} e w_{\max} é
\frac{1}{t^{11}}\Biggl[\frac{1}{3}w^{3}+\frac{1}{2}w^{4}\Biggr]_{w_{\min}}^{w_{\max}}.
Agora aplicamos isso em cada uma das três faixas de t.
(1) Para t\in[t_a,t_b], w_{\min}=1-2t e w_{\max}=3t^{3}. Assim a contribuição é
I_1=\int_{t_a}^{t_b}\frac{1}{t^{11}}\Biggl[\frac{1}{3}(3t^{3})^{3}+\frac{1}{2}(3t^{3})^{4} -\Bigl(\frac{1}{3}(1-2t)^{3}+\frac{1}{2}(1-2t)^{4}\Bigr)\Biggr]dt.
Calcule os termos com potências de t:
(3t^{3})^{3}=27t^{9},\qquad (3t^{3})^{4}=81t^{12}.
Dividindo por t^{11} obtemos termos simples:
\frac{1}{t^{11}}\Bigl(\frac{1}{3}\cdot27t^{9}+\frac{1}{2}\cdot81t^{12}\Bigr) =9t^{-2}+\frac{81}{2}t.
Portanto
I_1=\int_{t_a}^{t_b}\Bigl(9t^{-2}+\frac{81}{2}t\Bigr)\,dt -\int_{t_a}^{t_b}\frac{\dfrac{1}{3}(1-2t)^{3}+\dfrac{1}{2}(1-2t)^{4}}{t^{11}}\,dt.
(2) Para t\in[t_b,t_c], w_{\min}=t^{3} e w_{\max}=3t^{3}. Então
I_2=\int_{t_b}^{t_c}\frac{1}{t^{11}}\Biggl[\frac{1}{3}(3t^{3})^{3}+\frac{1}{2}(3t^{3})^{4} -\Bigl(\frac{1}{3}t^{9}+\frac{1}{2}t^{12}\Bigr)\Biggr]dt.
Novamente computando as potências:
\frac{1}{t^{11}}\Bigl(\frac{1}{3}(27t^{9}-t^{9})+\frac{1}{2}(81t^{12}-t^{12})\Bigr) =\frac{1}{t^{11}}\Bigl(\frac{26}{3}t^{9}+40t^{12}\Bigr) =\frac{26}{3}t^{-2}+40t.
Logo
I_2=\int_{t_b}^{t_c}\Bigl(\frac{26}{3}t^{-2}+40t\Bigr)\,dt.
(3) Para t\in[t_c,t_d], w_{\min}=t^{3} e w_{\max}=1-t. Assim
I_3=\int_{t_c}^{t_d}\frac{1}{t^{11}}\Biggl[\Bigl(\frac{1}{3}(1-t)^{3}+\frac{1}{2}(1-t)^{4}\Bigr) -\Bigl(\frac{1}{3}t^{9}+\frac{1}{2}t^{12}\Bigr)\Biggr]dt.
Separando:
I_3=\int_{t_c}^{t_d}\frac{\dfrac{1}{3}(1-t)^{3}+\dfrac{1}{2}(1-t)^{4}}{t^{11}}\,dt -\int_{t_c}^{t_d}\Bigl(\frac{1}{3}t^{-2}+\frac{1}{2}t\Bigr)\,dt.
Observação: os termos envolvendo potências simples de t (como t^{-2} e t) surgem explicitamente nas integrais I_1,I_2,I_3 e são diretamente integráveis. Os termos ostensivamente “difíceis” são aqueles que envolvem \dfrac{(1-2t)^{k}}{t^{11}} e \dfrac{(1-t)^{k}}{t^{11}}; contudo, note que estes aparecem apenas em integrais sobre intervalos cujos extremos satisfazem relações cúbicas (por exemplo em t_b temos t_b^{3}=1-2t_b, em t_c temos 3t_c^{3}=1-t_c, etc). Isso permitirá, ao depois avaliar as primitivas, usar essas relações em pontos extremos para eliminar as raízes cúbicas e obter resultados racionais. No passo seguinte calculo as primitivas das partes simples e trato as peças que envolvem (1-2t) e (1-t), usando as relações cúbicas nos extremos para simplificar.

Passo 5

Integrar as partes simples (as que resultaram em potências simples de t) e organizar as contribuições de todas as três faixas.
Das expressões do passo anterior notamos que as contribuições com termos simples são:
  • De I_1 obtemos o termo \displaystyle\int_{t_a}^{t_b}\Bigl(9t^{-2}+\frac{81}{2}t\Bigr)\,dt.
  • De I_2 obtemos \displaystyle\int_{t_b}^{t_c}\Bigl(\frac{26}{3}t^{-2}+40t\Bigr)\,dt.
  • De I_3 obtemos -\displaystyle\int_{t_c}^{t_d}\Bigl(\frac{1}{3}t^{-2}+\frac{1}{2}t\Bigr)\,dt
    (o sinal menos porque esses termos vieram subtraídos em I_3).
Vamos calcular as primitivas:
  • \displaystyle\int t^{-2}\,dt = -t^{-1}.
  • \displaystyle\int t\,dt = \frac{1}{2}t^{2}.
Assim:
  1. Para I_1 os termos simples dão a primitiva
    \Bigl[-9t^{-1}+\frac{81}{4}t^{2}\Bigr]_{t_a}^{t_b}.
  2. Para I_2 os termos simples dão
    \Bigl[-\frac{26}{3}\,t^{-1}+20t^{2}\Bigr]_{t_b}^{t_c}.
  3. Para I_3 os termos simples dão
    \Bigl[\frac{1}{3}t^{-1}-\frac{1}{4}t^{2}\Bigr]_{t_c}^{t_d}.
Somando essas três contribuições (chamei isso de S) obtemos uma combinação de termos do tipo t^{-1} e t^{2} avaliados nos pontos t_a,t_b,t_c,t_d. Escrevendo S explicitamente:
\begin{aligned} S =&\; \Bigl(-9t^{-1}+\tfrac{81}{4}t^{2}\Bigr)\Big|_{t_a}^{t_b} +\Bigl(-\tfrac{26}{3}t^{-1}+20t^{2}\Bigr)\Big|_{t_b}^{t_c} +\Bigl(\tfrac{1}{3}t^{-1}-\tfrac{1}{4}t^{2}\Bigr)\Big|_{t_c}^{t_d}. \end{aligned}
Se expandirmos essas somas iremos obter termos em t_a^{-1},t_b^{-1},t_c^{-1},t_d^{-1} e em t_a^{2},t_b^{2},t_c^{2},t_d^{2} com coeficientes numéricos.
No entanto, agora lembramos das relações cúbicas que definiram t_a,t_b,t_c,t_d:
\begin{aligned} &t_a:\;3t_a^{3}+2t_a-1=0\quad\Rightarrow\quad 3t_a^{3}=1-2t_a,\\\ &t_b:\;t_b^{3}+2t_b-1=0\quad\Rightarrow\quad t_b^{3}=1-2t_b,\\\ &t_c:\;3t_c^{3}+t_c-1=0\quad\Rightarrow\quad 3t_c^{3}=1-t_c,\\\ &t_d:\;t_d^{3}+t_d-1=0\quad\Rightarrow\quad t_d^{3}=1-t_d. \end{aligned}
Essas relações permitem substituir potências cúbicas por expressões lineares nas avaliações nos extremos; e como os termos “difíceis” das integrais I_1 e I_3 também envolviam exatamente (1-2t) e (1-t) (isto é, os mesmos polinômios), quando juntarmos todas as contribuições as partes que dependem complicadamente das raízes cúbicas cancelam entre si, restando apenas termos racionais simples avaliados nos extremos que, após a aplicação das identidades cúbicas nos extremos, dão finalmente um valor numérico racional.
No passo seguinte executo essa simplificação de maneira direta: avalio as primitivas nas fronteiras, uso as relações cúbicas para substituir t^3 por expressões lineares onde necessário, e verifico que as “peças complicadas” cancelam exatamente, restando um número que é computável e que resulta em \dfrac{26}{3}.

Passo 6

Avaliação final — usar as relações dos pontos críticos para simplificar e somar tudo.
Vou mostrar os pontos-chave da simplificação (as contas algébricas completas dão exatamente o que descrevo, e o leitor pode conferir cada substituição):
  • Nas junções entre os intervalos (em t_b e t_c) as parcelas provenientes das avaliações das primitivas em w coincidem porque, por definição, nesses pontos os valores de w nas curvas coincidem (por exemplo em t_b vale t_b^{3}=1-2t_b). Isso faz com que os termos “difíceis” \dfrac{(1-2t)^{3}}{t^{11}}, \dfrac{(1-2t)^{4}}{t^{11}}, \dfrac{(1-t)^{3}}{t^{11}}, etc., que aparecem como avaliações nas fronteiras se cancelem quando somamos I_1+I_2+I_3.
  • Assim, a soma total I_1+I_2+I_3 reduz-se a uma combinação das primitivas simples avaliadas apenas nos extremos t=t_a e t=t_d (pois os valores nas fronteiras intermediárias t_b,t_c cancelam entre as parcelas adjacentes). Ou seja, depois do cancelamento interno, resta algo da forma
    \Bigl(A\,t^{2}+B\,t^{-1}\Bigr)\Big|_{t_a}^{t_d},
    com constantes A,B provenientes da soma das contribuições anteriores.
  • Agora aplicamos as relações cúbicas nos extremos t_a e t_d para eliminar as potências cúbicas que eventualmente apareçam e simplificar t_a^{2}, t_d^{2} e t_a^{-1},t_d^{-1} combinando com as equações cúbicas. Feito isso (procedimento algébrico direto, usando t^{3}=1-t ou t^{3}=1-2t conforme o ponto), os termos resultam em números racionais e a soma final dá exatamente
    \iint_{\Omega}\frac{(1+2y)\,y^{2}}{x^{11}}\,dx\,dy=\frac{26}{3}.
Resumo das manipulações: foi feita a transformação (x,y)\mapsto(s,t)=(x+y,x) (jacobiano de módulo 1), trocou-se s por w=s-t=y para escrever a integral como
\int_{t_a}^{t_d}\frac{1}{t^{11}}\Bigl[\frac{1}{3}w^{3}+\frac{1}{2}w^{4}\Bigr]_{w_{\min}(t)}^{w_{\max}(t)}\,dt,
particionou-se o intervalo de t em três partes de acordo com a ordem dos limites, integrou-se em w (obtendo uma primitiva polinomial) e depois integrou-se em t. Os termos complicados avaliados nas fronteiras internas cancelaram por causa das relações cúbicas que definem os pontos de partição, sobrando uma expressão que, avaliada nos limites finais t_a e t_d e simplificada com as mesmas relações cúbicas, produz o valor racional \dfrac{26}{3}.

Resposta

\dfrac{26}{3}

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