Dado o sistema linear:
\begin{cases}x+2 y+z & =5 \\\\ 2 x+3 y-z & =0\end{cases}
(c) Verifique que toda terna ordenada (-15+5 z, 10-3 z, z), em que z \in \mathbb{R}, é solução desse sistema.

Passo 1

O enunciado dá o sistema linear
\begin{cases} x+2y+z=5,\\[4pt] 2x+3y-z=0, \end{cases}
e pede para verificar que toda terna ordenada \bigl(-15+5z,\;10-3z,\;z\bigr), com z\in\mathbb{R}, é solução desse sistema.
Informações relevantes: a família proposta descreve x e y em função de um parâmetro z. A verificação exige mostrar que, para qualquer valor real de z, ao substituir \;x=-15+5z,\;y=10-3z,\;z=z\; nas duas equações do sistema as igualdades ficam verdadeiras.]

Passo 2

O que significa “verificar” aqui: pegar uma terna genérica da família \bigl(-15+5z,\,10-3z,\,z\bigr) e substituí-la nas duas equações. Se ambas as igualdades forem satisfeitas para todo z\in\mathbb{R}, então toda essa família é solução. Vou fazer isso passo a passo, mostrando as contas e explicando cada operação (substituição, distribuição e soma de termos semelhantes).

Passo 3

Verificação da primeira equação \;x+2y+z=5:
Substituindo x=-15+5z e y=10-3z temos
x+2y+z = (-15+5z) + 2(10-3z) + z.
Calcule 2(10-3z):
2(10-3z) = 20 - 6z.
Agora some os termos:
(-15+5z) + (20-6z) + z = (-15+20) + (5z-6z+z).
Some constantes e coeficientes de z:
-15+20 = 5,\qquad 5z-6z+z = 0.
Logo
x+2y+z = 5 + 0 = 5,
que é exatamente o lado direito da primeira equação. Então a primeira equação é satisfeita para todo z.

Passo 4

Verificação da segunda equação \;2x+3y-z=0:
Substituindo x=-15+5z e y=10-3z obtemos
2x+3y-z = 2(-15+5z) + 3(10-3z) - z.
Calcule os produtos:
2(-15+5z) = -30 + 10z,\qquad 3(10-3z) = 30 - 9z.
Agora some tudo:
(-30+10z) + (30-9z) - z = (-30+30) + (10z-9z - z).
Some constantes e coeficientes de z:
-30+30 = 0,\qquad 10z-9z - z = 0.
Portanto
2x+3y-z = 0 + 0 = 0,
que é o lado direito da segunda equação. Assim a segunda equação também é satisfeita para todo z.

Passo 5

Conclusão lógica: como ambas as equações do sistema são satisfeitas para qualquer z\in\mathbb{R}, toda terna \bigl(-15+5z,\,10-3z,\,z\bigr) é solução do sistema.
Para te ajudar a entender como se chega a essa forma em provas: como o sistema tem duas equações e três incógnitas, espera-se uma família infinita de soluções com um parâmetro livre. Um método prático é eliminar uma variável entre as equações (por exemplo, somando as equações acima cancela z) para obter uma relação entre x e y, resolver para uma dessas variáveis em função de z e voltar a substituir para achar a outra. Se quiser, eu mostro esse processo de eliminação detalhadamente — mas já fiz implicitamente ao verificar as igualdades.

Resposta

Para todo z\in\mathbb{R}, a terna \bigl(-15+5z,\;10-3z,\;z\bigr) satisfaz ambas as equações, logo é solução do sistema.

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