Dado o sistema linear homogêneo C X=0. Sabendo que C é uma matriz quadrada tal que C^2=I, classifique o sistema como SPD, SPI ou SI. Justifique sua resposta.

Passo 1

Beleza, vamos entender o que o exercício está pedindo. Temos um sistema linear homogêneo da forma , onde é uma matriz quadrada que, quando multiplicada por ela mesma, dá a identidade, ou seja, . Nosso objetivo é classificar esse sistema como SPD (Sistema Possível e Determinado), SPI (Sistema Possível e Indeterminado) ou SI (Sistema Indeterminado). Para isso, vamos precisar entender conceitos de matrizes invertíveis e soluções de sistemas lineares.

Passo 2

Primeiro, vamos analisar a condição . Isso significa que quando a matriz é multiplicada por ela mesma, resulta na matriz identidade . Matemáticamente, isso implica que tem uma propriedade muito especial: ela é invertível.

Passo 3

Por que C^-1CX = C^-10 implies IX = 0 implies X = 0 ser invertível é importante? Bem, uma matriz invertível tem uma única solução para o sistema , que é a solução trivial . Isso acontece porque, se multiplicarmos ambos os lados da equação por (a inversa de ), temos:

Passo 4

Como é invertível e a única solução para o sistema é , estamos diante de um sistema determinado, ou seja, que tem exatamente uma solução. Além disso, como a solução existe (é consistente), o sistema é também possível.

Passo 5

Portanto, combinando essas informações, classificamos o sistema como SPD (Sistema Possível e Determinado).

Resposta

O sistema é classificado como SPD (Sistema Possível e Determinado), pois a matriz é invertível e o único solução para é a trivial .

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