Dado o sistema linear homogêneo
. Sabendo que C é uma matriz quadrada tal que
, classifique o sistema como SPD, SPI ou SI. Justifique sua resposta.
Passo 1
Beleza, vamos entender o que o exercício está pedindo. Temos um sistema linear homogêneo da forma
, onde
é uma matriz quadrada que, quando multiplicada por ela mesma, dá a identidade, ou seja,
. Nosso objetivo é classificar esse sistema como SPD (Sistema Possível e Determinado), SPI (Sistema Possível e Indeterminado) ou SI (Sistema Indeterminado). Para isso, vamos precisar entender conceitos de matrizes invertíveis e soluções de sistemas lineares.
Passo 2
Primeiro, vamos analisar a condição
. Isso significa que quando a matriz
é multiplicada por ela mesma, resulta na matriz identidade
. Matemáticamente, isso implica que
tem uma propriedade muito especial: ela é invertível.
Passo 3
Por que
ser invertível é importante? Bem, uma matriz invertível tem uma única solução para o sistema
, que é a solução trivial
. Isso acontece porque, se multiplicarmos ambos os lados da equação por
(a inversa de
), temos:
Passo 4
Como
é invertível e a única solução para o sistema é
, estamos diante de um sistema determinado, ou seja, que tem exatamente uma solução. Além disso, como a solução existe (é consistente), o sistema é também possível.
Passo 5
Portanto, combinando essas informações, classificamos o sistema como SPD (Sistema Possível e Determinado).
Resposta
O sistema é classificado como SPD (Sistema Possível e Determinado), pois a matriz
é invertível e o único solução para
é a trivial
.