Determine, sem efetuar nenhum cálculo, se o sistema linear com a matriz ampliada dada, tem uma única solução (SPD), infinitas soluções (SPI) ou nenhuma solução (SI). Justifique suas respostas.
(rrrr|l1 & 2 & 3 & 4 & 0 5 & 6 & 7 & 8 & 0 9 & 10 & 11 & 12 & 0)

Passo 1

Beleza, vamos começar entendendo o que a questão está pedindo. Temos um sistema de equações lineares representado por uma matriz ampliada. O objetivo é descobrir se esse sistema tem uma única solução (SPD), infinitas soluções (SPI) ou nenhuma solução (SI), e sem fazer nenhum cálculo. Para isso, vamos precisar entender um pouco sobre determinantes e a consistência dos sistemas lineares.

Passo 2

Primeiro, vamos olhar só para a parte dos coeficientes da matriz, ou seja, a matriz sem a última coluna que representa os termos constantes. No nosso caso, a matriz dos coeficientes é:
1 & 2 & 3 & 4 5 & 6 & 7 & 8 9 & 10 & 11 & 12

Passo 3

Agora, vamos analisar se essa matriz dos coeficientes é não singular, ou seja, se o seu determinante é diferente de zero. Se o determinante for diferente de zero, significa que o sistema tem uma única solução (SPD). Se o determinante for zero, pode ter infinitas soluções ou nenhuma solução, dependendo da consistência do sistema.

Passo 4

Observando os números na matriz dos coeficientes, percebemos que as linhas não são linearesmente independentes. Por exemplo, se subtrairmos a primeira linha da segunda, e depois a segunda da terceira, veremos que elas seguem um padrão consistente, indicando que o determinante dessa matriz é zero.

Passo 5

Como o determinante é zero, a matriz dos coeficientes é singular, o que significa que o sistema não tem uma única solução. Agora, precisamos verificar a consistência do sistema para saber se ele tem infinitas soluções (SPI) ou nenhuma solução (SI).

Passo 6

Olhando para a última coluna da matriz ampliada, que representa os termos constantes (todos são zero), percebemos que todas as equações estão alinhadas e não há contradições. Isso indica que o sistema é consistente.

Passo 7

Como o sistema é consistente e a matriz dos coeficientes é singular, podemos concluir que o sistema tem infinitas soluções (SPI).

Resposta

O sistema linear dado tem infinitas soluções (SPI), pois a matriz dos coeficientes é singular (determinante zero) e o sistema é consistente.

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