Dado o sistema linear, indique quais triplas ordenadas são soluções:
\begin{cases}x+y-z & =0 \\\ x-y+z & =4 \\\\ -x+y+2 z & =-5\end{cases}
a) (2,1,3)

Passo 1

O enunciado pede que a gente diga se a(s) tripla(s) ordenada(s) fornecida(s) são soluções do sistema. O sistema dado é:
\begin{cases} x+y-z=0\\[4pt] x-y+z=4\\[4pt] -x+y+2z=-5 \end{cases}
A tripla que devemos testar é (2,1,3).
Informações relevantes: temos três equações lineares em três incógnitas x, y, z. A tripla (2,1,3) significa x=2, y=1, z=3. A tarefa é verificar se esses valores satisfazem todas as três equações ao mesmo tempo.]

Passo 2

Como verificar se uma tripla é solução — ideia simples e prática (ótima para usar na prova): uma tripla (x,y,z) é solução do sistema se, ao substituir x, y e z nas três equações, todas as igualdades ficam verdadeiras. Então vamos “trocar” x, y, z por 2, 1, 3 e calcular cada lado esquerdo, comparando com o lado direito. Se ao menos uma equação falhar, a tripla NÃO é solução. Vou mostrar passo a passo e explicar cada conta.

Passo 3

Substituindo x=2, y=1, z=3 na primeira equação x+y-z=0:
2+1-3
Fazendo as somas/subtrações: 2+1=3 e 3-3=0. Portanto o resultado é 0, que é igual ao lado direito da equação. Conclusão: a primeira equação é satisfeita por (2,1,3).

Passo 4

Agora a segunda equação x-y+z=4. Substituindo:
2-1+3
Calcule passo a passo: 2-1=1, depois 1+3=4. O resultado é 4, que coincide com o lado direito da equação. Conclusão: a segunda equação também é satisfeita por (2,1,3).

Passo 5

Agora a terceira equação -x+y+2z=-5. Substituindo:
-2+1+2\cdot 3
Calcule por partes: 2\cdot 3=6. Então -2+1=-1 e -1+6=5. O resultado do lado esquerdo é 5. Mas o lado direito dessa equação é -5. Como 5\neq -5, a terceira equação NÃO é satisfeita por (2,1,3).

Passo 6

Conclusão lógica: para ser solução do sistema, a tripla precisa satisfazer todas as três equações ao mesmo tempo. Já que a terceira equação falha (dá 5 em vez de -5), a tripla (2,1,3) não é solução. Vou aproveitar e mostrar rapidamente qual é a solução verdadeira do sistema — isso ajuda a entender onde a diferença aparece — usando uma eliminação simples e bem direta.
Some a primeira e a segunda equações:
(x+y-z)+(x-y+z)=0+4
No lado esquerdo y cancela com -y e -z com +z, sobrando 2x. Do lado direito 0+4=4. Logo
2x=4\quad\Rightarrow\quad x=2.
Substituindo x=2 na primeira equação x+y-z=0:
2+y-z=0\quad\Rightarrow\quad y-z=-2\quad\Rightarrow\quad y=z-2.
Substituindo x=2 na terceira equação -x+y+2z=-5:
-2+y+2z=-5\quad\Rightarrow\quad y+2z=-3.
Agora substituímos y=z-2 nessa última:
(z-2)+2z=-3\quad\Rightarrow\quad 3z-2=-3\quad\Rightarrow\quad 3z=-1\quad\Rightarrow\quad z=-\tfrac{1}{3}.
Com z=-\tfrac{1}{3}, obtemos
y=z-2=-\tfrac{1}{3}-2=-\tfrac{7}{3}.
Portanto a solução exata do sistema é \bigl(2,-\tfrac{7}{3},-\tfrac{1}{3}\bigr). Repara: só a coordenada x coincide com a tripla testada; y e z são bem diferentes — isso explica por que a terceira equação falhou.

Resposta

a) (2,1,3) não é solução.

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