Determine o valor de a para que o sistema tenha:
a) (1,0 ponto) Única soluça;
b) ( 0,5 ponto) Infinitas soluções;
c) ( 0,5 ponto) Nenhuma soluģão.
Passo 1
O enunciado dá o sistema linear
x + y + a,z = 1, x + a,y + z = a, a,x + y + z = a^2,
e pede para determinar, em função de a, quando o sistema tem solução única, infinitas soluções ou nenhuma solução. O conteúdo utilizado será: cálculo do determinante da matriz dos coeficientes para detectar se o sistema é regular (detneq0) ou singular (det=0), e para o caso singular verificaremos consistência via combinação das equações.
Passo 2
Formamos a matriz de coeficientes
A = 1 & 1 & a 1 & a & 1 a & 1 & 1
e calculamos o determinante por desenvolvimento:
det A = 1,(acdot1 - 1cdot1) -1,(1cdot1 - acdot1) + a,(1cdot1 - acdot a)
Isso dá
det A = (a - 1) - (1 - a) + a,(1 - a^2) = 2(a - 1) + a - a^3 = -a^3 + 3a - 2
Fatorando -a^3+3a-2=-(a-1)^2(a+2), obtemos
det A = -(a-1)^2,(a+2)
Passo 3
Como o sistema tem solução única exatamente quando det Aneq0, concluímos
det Aneq0Long<=ftrightarrow aneq1 e aneq-2
Passo 4
Para a=1 temos det A=0. As três equações tornam-se todas iguais a
x + y + z = 1,
pois o vetor dos termos independentes é (1,1,1). Logo o sistema é consistente e tem apenas uma restrição entre três incógnitas, produzindo infinitas soluções.
Passo 5
Para
Subtraindo a primeira da segunda obtemos ). Somando o dobro da primeira à terceira dá (isto é, ). Somando essas duas últimas gera , contradição. Logo o sistema é inconsistente e não tem solução.
Resposta
a) aneq1 e aneq-2. única solução.
b) a=1. infinitas soluções.
c) a=-2. nenhuma solução.