Calcule, se possível, a inversa da matriz A de tamanho abaixo:
0 1 0 -1 0
1 2 0 0 -1
1 0 0 0 1
0 0 0 1 0
25 3 -1 2 -4
  1. Depois, resolva o seguinte sistema , onde (1, 2, 0, -1, 1).
    A entrega do exercício NÃO é pelo Moodle, mas sim presencialmente em aula, até o limite de data sendo a Prova 1.

Passo 1

O enunciado pede para calcular a inversa da matriz A de ordem 5 e depois resolver o sistema AX=b com b=(1,2,0,-1,1). O conteúdo principal é a eliminação de Gauss-Jordan para inverter a matriz e em seguida a multiplicação X=A^-1b.

Passo 2

Escrevemos a matriz aumentada [Amid I] e aplicamos Gauss-Jordan. Primeiro, pivot em (1,1): trocamos linhas para ter 1 no pivô e eliminamos a coluna 1 em todas as outras linhas. Depois, pivot em (2,2): mantemos o 1 e anulamos a coluna 2 em todas as demais linhas.

Passo 3

Continuamos a eliminação para os pivôs (3,3), (4,4) e (5,5), normalizando cada pivô e anulando sua coluna. Ao final obtemos a forma [Imid A^-1]. A matriz inversa é
A^-1= -1 & tfrac12 & tfrac12 & -1 & 0 1 & 0 & 0 & 1 & 0 -26 & tfrac292 & tfrac212 & -24 & -1 0 & 0 & 0 & 1 & 0 1 & -tfrac12 & tfrac12 & 1 & 0

Passo 4

Agora, para resolver AX=b, calculamos X=A^-1b. Fazendo a multiplicação componente a componente, obtemos
X=1026-1-1

Resposta

A^{-1}= -1 & tfrac12 & tfrac12 & -1 & 01 & 0 & 0 & 1 & 0-26 & tfrac292 & tfrac212 & -24 & -10 & 0 & 0 & 1 & 01 & -tfrac12 & tfrac12 & 1 & 0,\quad X= 1026-1-1

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