Seja C a curva de interseção entre as superfícies S1: 2 x^2-6 x+5 y^2+z=8 e S2: x^2-3 y^2-z=1. Determine a equação da reta tangente a C em P(2, 3 raiz22, -212).

Passo 1

Beleza, o enunciado quer a reta tangente à curva C, que é a interseção das superfícies S₁ e S₂, no ponto P(2, 3raiz2/2, -21/2). O conteúdo aqui é cálculo vetorial: vamos usar os gradientes de S₁ e S₂ como normais, e o produto vetorial deles dá a direção da reta tangente.

Passo 2

Primeiro a gente escreve as funções implícitas das superfícies e calcula seus gradientes. Para S₁: F₁(x,y,z)=2x^2-6x+5y^2+z-8, então
nabla F₁=(partialxF₁,partialyF₁,partialzF₁)=(4x-6,,10y,,1)
Já para S₂: F₂(x,y,z)=x^2-3y^2-z-1, seu gradiente é
nabla F₂=(2x,,-6y,,-1)

Passo 3

Agora avaliamos esses gradientes em P. Como x=2, y=3raiz2/2 e z=-21/2,
nabla F₁(P)=(4cdot2-6,,10cdottfrac3raiz22,,1)=(2,,15raiz2,,1),
nabla F₂(P)=(2cdot2,,-6cdottfrac3raiz22,,-1)=(4,,-9raiz2,,-1)

Passo 4

Para achar a direção da reta tangente, fazemos o produto vetorial nabla F₁(P)timesnabla F₂(P):
nabla F₁(P)timesnabla F₂(P)=i&j&k2&15raiz2&14&-9raiz2&-1=(-6raiz2,,6,,-78raiz2)
A gente pode simplificar esse vetor fatorando 6, ficando direção (-raiz2,,1,,-13raiz2). Por fim, a equação paramétrica da reta em P é
(x,y,z)=(2,,tfrac3raiz22,,-tfrac212)+t,(-raiz2,,1,,-13raiz2)

Resposta

Equação paramétrica da reta tangente:
x(t)=2-raiz2,t y(t)=tfrac3raiz22+t z(t)=-tfrac212-13raiz2,t

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