Dado um sistema de número com base 3, responda:
a. Quais são os algarismos deste sistema de numeração?
b. Converta o número
para o sistema de numeração de base 3 .
c. Converta o número
para o sistema de numeração de base 3 .
d. Converta o número
para o sistema de numeração de base 3 .
a. Quais são os algarismos deste sistema de numeração?
b. Converta o número
c. Converta o número
d. Converta o número
Passo 1
O enunciado pede quatro coisas relacionadas ao sistema de base 3:
- (a) indicar quais são os algarismos permitidos nesse sistema de numeração;
- (b) converter o número
(decimal) para a base 3; - (c) converter o número
(octal) para a base 3; - (d) converter o número
(hexadecimal) para a base 3.
Informações dadas que vou usar:
- Para (b) o número está em base decimal
. - Para (c) o número está em base octal
. - Para (d) o número está em base hexadecimal
. - Para converter entre bases, posso (i) usar a regra de divisão sucessiva para converter de decimal para outra base, e (ii) converter primeiro um número de base
para decimal usando a expansão posicional quando necessário.
Passo 2
O que são os algarismos de um sistema de base
: num sistema de base
os dígitos possíveis vão de
até
. Isso é porque cada posição representa potências de
e o coeficiente em cada posição só pode assumir
valores distintos.
Aplicando isso para a base
: os dígitos possíveis são exatamente
Isto responde a alínea (a).
Passo 3
Como converter um número decimal para base
(método que vou usar em (b), e depois reaplicar aos resultados de (c) e (d) após converter para decimal):
- Regra (divisão sucessiva): dividir o número por
, anotar o resto; repetir com o quociente até o quociente ser . Os restos, lidos do último obtido para o primeiro, formam os dígitos do número em base do mais significativo para o menos significativo. - Por que isso funciona (intuição rápida): qualquer número
pode ser escrito como
onde
é o resto da divisão por
. O resto é o dígito das unidades (posição
); repetindo para
obtemos os dígitos das posições superiores.
Vou aplicar essa regra passo a passo agora.
Passo 4
Converter
para base
com divisão sucessiva (mostrando cada divisão e resto):
Agora leio os restos de baixo para cima (do último obtido para o primeiro):
. Portanto
Faço uma checagem rápida expandindo em potências de
:
confirmando que a conversão está correta.
Passo 5
Converter
para base
.
Primeiro converto de octal (base
) para decimal usando a expansão posicional. O número
tem dígitos
nas posições
, então:
Agora converto
para base
pela divisão sucessiva:
Lendo os restos de baixo para cima:
. Assim
Verificação rápida (expansão):
confere.
Passo 6
Converter
para base
.
Primeiro converto de hexadecimal (base
) para decimal. Lembrando que
e
:
Agora converto
para base
pela divisão sucessiva:
Lendo os restos de baixo para cima:
. Portanto
Confirmação rápida:
ok.
Resposta
(a)
(b)
(c)
(d)