Dado um sistema de número com base 3, responda:
a. Quais são os algarismos deste sistema de numeração?
b. Converta o número 5698_{10} para o sistema de numeração de base 3 .
c. Converta o número 712_{8} para o sistema de numeração de base 3 .
d. Converta o número \mathrm{AC}_{16} para o sistema de numeração de base 3 .

Passo 1

O enunciado pede quatro coisas relacionadas ao sistema de base 3:
  • (a) indicar quais são os algarismos permitidos nesse sistema de numeração;
  • (b) converter o número 5698_{10} (decimal) para a base 3;
  • (c) converter o número 712_{8} (octal) para a base 3;
  • (d) converter o número \mathrm{AC}_{16} (hexadecimal) para a base 3.
Informações dadas que vou usar:
  • Para (b) o número está em base decimal 10.
  • Para (c) o número está em base octal 8.
  • Para (d) o número está em base hexadecimal 16.
  • Para converter entre bases, posso (i) usar a regra de divisão sucessiva para converter de decimal para outra base, e (ii) converter primeiro um número de base b para decimal usando a expansão posicional quando necessário.

Passo 2

O que são os algarismos de um sistema de base b: num sistema de base b os dígitos possíveis vão de 0 até b-1. Isso é porque cada posição representa potências de b e o coeficiente em cada posição só pode assumir b valores distintos.
Aplicando isso para a base 3: os dígitos possíveis são exatamente
\{0,\,1,\,2\}.
Isto responde a alínea (a).

Passo 3

Como converter um número decimal para base 3 (método que vou usar em (b), e depois reaplicar aos resultados de (c) e (d) após converter para decimal):
  • Regra (divisão sucessiva): dividir o número por 3, anotar o resto; repetir com o quociente até o quociente ser 0. Os restos, lidos do último obtido para o primeiro, formam os dígitos do número em base 3 do mais significativo para o menos significativo.
  • Por que isso funciona (intuição rápida): qualquer número N pode ser escrito como
N = q\cdot 3 + r,\quad 0\le r\le2,
onde r é o resto da divisão por 3. O resto é o dígito das unidades (posição 3^0); repetindo para q obtemos os dígitos das posições superiores.
Vou aplicar essa regra passo a passo agora.

Passo 4

Converter 5698_{10} para base 3 com divisão sucessiva (mostrando cada divisão e resto):
5698 \div 3 = 1899\quad \text{resto }1
1899 \div 3 = 633\quad \text{resto }0
633 \div 3 = 211\quad \text{resto }0
211 \div 3 = 70\quad \text{resto }1
70 \div 3 = 23\quad \text{resto }1
23 \div 3 = 7\quad \text{resto }2
7 \div 3 = 2\quad \text{resto }1
2 \div 3 = 0\quad \text{resto }2
Agora leio os restos de baixo para cima (do último obtido para o primeiro): 2,1,2,1,1,0,0,1. Portanto
5698_{10} = 21211001_3.
Faço uma checagem rápida expandindo em potências de 3:
2\cdot 3^{7}+1\cdot 3^{6}+2\cdot 3^{5}+1\cdot 3^{4}+1\cdot 3^{3}+0\cdot 3^{2}+0\cdot 3^{1}+1\cdot 3^{0}
=2\cdot 2187 +1\cdot 729 +2\cdot 243 +1\cdot 81 +1\cdot 27 +0 +0 +1 =5698,
confirmando que a conversão está correta.

Passo 5

Converter 712_{8} para base 3.
Primeiro converto de octal (base 8) para decimal usando a expansão posicional. O número 712_8 tem dígitos 7,1,2 nas posições 8^2,8^1,8^0, então:
712_8 = 7\cdot 8^{2} + 1\cdot 8^{1} + 2\cdot 8^{0}
=7\cdot 64 + 1\cdot 8 + 2\cdot 1 = 448 + 8 + 2 = 458.
Agora converto 458_{10} para base 3 pela divisão sucessiva:
458 \div 3 = 152\quad \text{resto }2
152 \div 3 = 50\quad \text{resto }2
50 \div 3 = 16\quad \text{resto }2
16 \div 3 = 5\quad \text{resto }1
5 \div 3 = 1\quad \text{resto }2
1 \div 3 = 0\quad \text{resto }1
Lendo os restos de baixo para cima: 1,2,1,2,2,2. Assim
712_{8} = 121222_3.
Verificação rápida (expansão):
1\cdot 3^{5}+2\cdot 3^{4}+1\cdot 3^{3}+2\cdot 3^{2}+2\cdot 3^{1}+2\cdot 3^{0} =243+162+27+18+6+2=458,
confere.

Passo 6

Converter \mathrm{AC}_{16} para base 3.
Primeiro converto de hexadecimal (base 16) para decimal. Lembrando que \mathrm{A}=10 e \mathrm{C}=12:
\mathrm{AC}_{16} = 10\cdot 16^{1} + 12\cdot 16^{0} = 10\cdot 16 + 12 = 160 + 12 = 172.
Agora converto 172_{10} para base 3 pela divisão sucessiva:
172 \div 3 = 57\quad \text{resto }1
57 \div 3 = 19\quad \text{resto }0
19 \div 3 = 6\quad \text{resto }1
6 \div 3 = 2\quad \text{resto }0
2 \div 3 = 0\quad \text{resto }2
Lendo os restos de baixo para cima: 2,0,1,0,1. Portanto
\mathrm{AC}_{16} = 20101_3.
Confirmação rápida:
2\cdot 3^{4}+0\cdot 3^{3}+1\cdot 3^{2}+0\cdot 3^{1}+1\cdot 3^{0}=2\cdot 81 + 0 + 9 + 0 + 1 =172,
ok.

Resposta

(a) \{0,\,1,\,2\}
(b) 5698_{10}=21211001_3
(c) 712_8=121222_3
(d) \mathrm{AC}_{16}=20101_3

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