Um processo de ordem com tempo morto tem a seguinte função de transferência:
Assuma que o processo é controlado com um controlador PI com desconhecido e , use o critério de estabilidade de Bode, determine o ganho crítico de tal forma que a frequência crítica seja de e, em seguida, verifique para quais valores de a resposta de malha fechada é estável.
Passo 1
Então, a questão diz que temos um processo de primeira ordem com tempo morto
ele é controlado por um PI com ganho (desconhecido) e tempo integral min.
O que a gente precisa fazer é aplicar o critério de estabilidade de Bode:
Escolher a frequência crítica rad/s.
Achar o valor de (que vamos chamar de ) que faz , onde
3. Verificar para quais valores de a malha fechada fica estável, ou seja, para quais o critério de fase não é violado.
Para isso vamos precisar calcular magnitude e fase da função de malha aberta em e escolher de forma que .
Passo 2
Calcular em função de , depois impor e isolar .
O controlador em é
Aí
O processo em (a parte sem o dead‐time) dá
O fator e^-j,tdcdot1 só muda fase, magnitude é 1.
Logo a malha aberta tem magnitude
$$|L(j1)|=|C(j1)|;\Bigl|G(j1)\Bigr|
=K_c\sqrt{5};\frac{10}{\sqrt{\tau^2+1}},. $$
Para achar o ganho crítico |L(j1)|=|C(j1)|;l|G(j1)r| =Kcraiz5;10raiztau^2+1, basta impor Kcu:
|L(j1)|=1
Passo 3
Agora avaliamos a fase de L(j1) e vemos quando ela atinge -180^circ (zero de margem de fase).
A fase total é a soma da fase de C(j1), da fase do polo e do tempo morto:
Somando tudo e impondo que dê ang<= e^-j,td=-tdcdot1(rad) ;=;-tdcdot180pi;(^circ), :
-180^circ
Passando termos para o outro lado:
-arctan(2)-arctan(tau)-180pi,td=-180^circ
Logo o máximo 180pi,td =180^circ-arctan(2)-arctan(tau) para ainda manter estabilidade (margem de fase zero) é
td
ou, em minutos, usar a mesma expressão lembrando que td,max =pi180l[,180^circ-arctan(2)-arctan(tau)r] =pi-arctan(2)-arctan(tau)(rad) e tau estão em min.