Um processo de 1^ a ordem com tempo morto tem a seguinte função de transferência:
G(s)=10 e^-td stau s+1
Assuma que o processo é controlado com um controlador PI com Kc desconhecido e tauI=0,5 min, use o critério de estabilidade de Bode, determine o ganho crítico Kcu de tal forma que a frequência crítica wco seja de 1 rad/s e, em seguida, verifique para quais valores de td a resposta de malha fechada é estável.

Passo 1

Então, a questão diz que temos um processo de primeira ordem com tempo morto
G(s)=10,e^-td stau s+1
ele é controlado por um PI com ganho Kc (desconhecido) e tempo integral tauI=0.5,min.
O que a gente precisa fazer é aplicar o critério de estabilidade de Bode:
  1. Escolher a frequência crítica omegaco=1,rad/s.
  2. Achar o valor de Kc (que vamos chamar de Kcu) que faz |L(jomegaco)|=1, onde L(s)=Kcl(1+1tauI sr),G(s),
    3. Verificar para quais valores de td a malha fechada fica estável, ou seja, para quais td o critério de fase não é violado.
Para isso vamos precisar calcular magnitude e fase da função de malha aberta em omega=1 e escolher Kc de forma que |L(j1)|=1.

Passo 2

Calcular |L(j1)| em função de Kc, depois impor |L(j1)|=1 e isolar Kc.
  1. O controlador em s=j1 é
    C(j1)=Kcl(1+10.5,jr)=Kc,(1 - j,2),

    |C(j1)|=Kcraiz1^2+(-2)^2=Kcraiz5,
  2. O processo em s=j1 (a parte sem o dead‐time) dá
    l|10tau,(j1)+1r| =10raiz(taucdot1)^2+1 =10raiztau^2+1,
    O fator e^-j,tdcdot1 só muda fase, magnitude é 1.
  3. Logo a malha aberta tem magnitude
    $$|L(j1)|=|C(j1)|;\Bigl|G(j1)\Bigr|
    =K_c\sqrt{5};\frac{10}{\sqrt{\tau^2+1}},. $$
  4. Para achar o ganho crítico |L(j1)|=|C(j1)|;l|G(j1)r| =Kcraiz5;10raiztau^2+1, basta impor Kcu:
    |L(j1)|=1

Passo 3

Agora avaliamos a fase de L(j1) e vemos quando ela atinge -180^circ (zero de margem de fase).
A fase total é a soma da fase de C(j1), da fase do polo e do tempo morto:
  1. Fase do controlador:
    ang<= C(j1)=ang<=(1 - j2)= -arctan(2)approx -63.43^circ,
  2. Fase do polo 1/(tau j+1) em omega=1:
    ang<=1tau j+1=-arctan(tau)(em graus: -arctan(tau)times!180/pi),
  3. Fase do atraso e^-j,td:
    $$\angle e^{-j,t_d}=-t_d\cdot1\quad(rad)
    ;=;-t_d\cdot\frac{180}{\pi};(^\circ),. $$
Somando tudo e impondo que dê ang<= e^-j,td=-tdcdot1(rad) ;=;-tdcdot180pi;(^circ), :
-180^circ
Passando termos para o outro lado:
-arctan(2)-arctan(tau)-180pi,td=-180^circ
Logo o máximo 180pi,td =180^circ-arctan(2)-arctan(tau) para ainda manter estabilidade (margem de fase zero) é
td
ou, em minutos, usar a mesma expressão lembrando que td,max =pi180l[,180^circ-arctan(2)-arctan(tau)r] =pi-arctan(2)-arctan(tau)(rad) e tau estão em min.

Resposta

K_{cu}=\dfrac{\sqrt{\tau^{2}+1}}{10,\sqrt{5}}\quade\quad
t_{d}<t_{d,\max}=\pi-\arctan(2)-\arctan(\tau),.

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