Dado um sistema com realimentação unitária que possui a função de transferência em malha aberta:
Calcula o ângulo de no ponto determinando a soma algébrica dos ângulos dos vetores traçados a partir dos zeros e dos polos de até o ponto dado.
Passo 1
Beleza, o enunciado pede pra gente achar o ângulo (fase) da função de transferência em malha aberta
no ponto . Isso é controle clássico, parte de “análise de Nyquist/Bode”, onde a gente usa a regra de fase: soma dos ângulos dos vetores que vão dos zeros até o ponto, menos a soma dos ângulos dos vetores que vão dos polos até lá. Para resolver vamos precisar:
Identificar zeros e polos de
Calcular o vetor de cada um até
- Determinar o ângulo de cada vetor (explicando quadrantes!)
- Somar ângulo dos zeros e subtrair somatório dos ângulos dos polos
Passo 2
Primeiro, vamos achar zero e polos de :
Zero: vem do numerador.
Polos: raízes de . Usando fórmula de Bhaskara:
Então temos:
Passo 3
Agora calculamos o vetor do zero até e seu ângulo:
Para achar o ângulo de um complexo x+jy fazemos theta=arctan!l(tfracyxr), mas ajustando o quadrante. Aqui x=-1<0 e y=0,, estamos no eixo negativo real, ou seja quadrante 180°.
Então ang<=,z,s0=180^circ
Passo 4
Agora os polos:
Para p1=-2+j3:p1,s0=(-3+ j0)-(-2+j3)=(-1 - j3)Aí x=-1<0 e y=-3<0 (terceiro quadrante). O ângulo bruto éarctan!l(tfrac-3-1r)=arctan(3)approx71.565^circ,
mas em Q3 a gente soma ou subtrai 180°, ficando ang<=,p1,s0=-180^circ+71.565^circ=-108.435^circ
Para p2=-2-j3:p2,s0=(-3+ j0)-(-2-j3)=(-1 + j3)Aqui x=-1<0 e y=3>0 (segundo quadrante). O ângulo bruto arctan!l(tfrac3-1r)= -71.565^circ, e em Q2 a gente faz 180^circ -71.565^circ=108.435^circ
Logo ang<=,p2,s0=108.435^circ
Passo 5
Aplicando a regra de fase:
ang<= G(s0)=sum ângulo dos zeros - sum ângulo dos polos + ang<= Kââ