• Dado um sistema com realimentação unitária que possui a função de transferência em malha aberta:
G(s)=K(s+2)(s^2+4 s+13)
Calcula o ângulo de G(s) no ponto s=-3+j 0 determinando a soma algébrica dos ângulos dos vetores traçados a partir dos zeros e dos polos de G(s) até o ponto dado.

Passo 1

Beleza, o enunciado pede pra gente achar o ângulo (fase) da função de transferência em malha aberta
G(s)=K,(s+2)s^2+4s+13
no ponto s0=-3+ j,0,. Isso é controle clássico, parte de “análise de Nyquist/Bode”, onde a gente usa a regra de fase: soma dos ângulos dos vetores que vão dos zeros até o ponto, menos a soma dos ângulos dos vetores que vão dos polos até lá. Para resolver vamos precisar:
  • Identificar zeros e polos de G(s)
  • Calcular o vetor de cada um até s0
    - Determinar o ângulo de cada vetor (explicando quadrantes!)
    - Somar ângulo dos zeros e subtrair somatório dos ângulos dos polos

Passo 2

Primeiro, vamos achar zero e polos de G(s):
  • Zero: vem do numerador. s+2=0implies sz=-2,
  • Polos: raízes de s^2+4s+13=0. Usando fórmula de Bhaskara: s1,2=-4pmraiz4^2-4cdot1cdot132=-4pmraiz16-522=-4pm j,62=-2pm j,3,
    Então temos:
    z=-2, p1=-2+j3, p2=-2-j3

Passo 3

Agora calculamos o vetor do zero z até s0 e seu ângulo:
z,s0=s0 - z =(-3+ j0)-(-2)=(-1+ j0)
Para achar o ângulo de um complexo x+jy fazemos theta=arctan!l(tfracyxr), mas ajustando o quadrante. Aqui x=-1<0 e y=0,, estamos no eixo negativo real, ou seja quadrante 180°.
Então
ang<=,z,s0=180^circ

Passo 4

Agora os polos:
  1. Para p1=-2+j3: p1,s0=(-3+ j0)-(-2+j3)=(-1 - j3) x=-1<0 e y=-3<0 (terceiro quadrante). O ângulo bruto é arctan!l(tfrac-3-1r)=arctan(3)approx71.565^circ,
    mas em Q3 a gente soma ou subtrai 180°, ficando
    ang<=,p1,s0=-180^circ+71.565^circ=-108.435^circ
  2. Para p2=-2-j3: p2,s0=(-3+ j0)-(-2-j3)=(-1 + j3)Aqui x=-1<0 e y=3>0 (segundo quadrante). O ângulo bruto arctan!l(tfrac3-1r)= -71.565^circ, e em Q2 a gente faz 180^circ -71.565^circ=108.435^circ
    Logo
    ang<=,p2,s0=108.435^circ

Passo 5

Aplicando a regra de fase:
ang<= G(s0)=sum ângulo dos zeros - sum ângulo dos polos + ang<= Kââ
Como K é real positivo, ang<= K=0^circ. Então
ang<= G(s0)=l(180^circr)-l(-108.435^circ+108.435^circr)=180^circ-0^circ=180^circ

Resposta

O ângulo de G(s) no ponto s=-3+j0 é 180°.

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