Dada as seguintes funções de transferência, determine a Laplace Inversa.
G(s)=s+9(s+1)(s+4)

Passo 1

Beleza, o enunciado pede pra gente encontrar a transformada inversa de
G(s)=s+9(s+1)(s+4),
Conteúdo: Transformada de Laplace inversa e decomposição em frações parciais.
O que a gente vai usar:
- A técnica de frações parciais pra separar a função em termos do tipo 1s+a.
- A propriedade de que L^-11s+a=e^-at,

Passo 2

Primeiro a gente faz a decomposição em frações parciais.
Queremos escrever
s+9(s+1)(s+4) = As+1 + Bs+4,
Isso significa:
s+9 = A(s+4) + B(s+1),
Agora expandimos o lado direito:
A(s+4)+B(s+1) = As + 4A + Bs + B = (A+B)s + (4A + B),
Igualamos coeficientes coeficiente a coeficiente:
  1. Coeficiente de s: A+B = 1,
  2. Termo independente: 4A + B = 9,

Passo 3

Vamos resolver o sistema
A + B = 1, 4A + B = 9
Subtraindo a primeira equação da segunda:
(4A + B) - (A + B) = 9 - 1 ;Longrightarrow; 3A = 8 ;Longrightarrow; A = 83
Daí, de A + B = 1 vem
B = 1 - A = 1 - 83 = -53,
Então a decomposição ficou
s+9(s+1)(s+4) = 8/3s+1 - 5/3s+4,

Passo 4

Agora aplicamos a tabela de transformada inversa:
L^-11s+a = e^-a t,
Pela linearidade,
$$\mathcal{L}^{-1}\Big{\frac{8/3}{s+1}\Big} = \frac{8}{3}e^{-1\cdot t}, \quad
\mathcal{L}^{-1}\Big{\frac{-5/3}{s+4}\Big} = -\frac{5}{3}e^{-4t},. $$
Basta somar os dois resultados.

Resposta

g(t) = 83e^-t - 53e^-4t,

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