Esquematize o local das raízes para a função de transferência em malha aberta de o sistema de controle feedback dado abaixo e determine:
O valor de K para zeta=0,5.
G(s)=Ks(s+1)(s+3)

Passo 1

O enunciado pede pra gente esboçar o lugar das raízes (root locus) de
G(s)=Ks(s+1)(s+3)
e, mais especificamente, encontrar o valor de para que o sistema fechado tenha fator de amortecimento .
Conteúdo: lugar das raízes e relação entre pólos e fator de amortecimento.
Vamos precisar de:
1) Montar a equação característica do sistema em malha fechada.
2) Entender o que é fator de amortecimento ( ) e como isso vira uma reta no plano .
3) Aplicar as condições de ângulo e de módulo do root locus para achar o ponto de interseção com essa reta.

Passo 2

Primeiro, a equação de malha fechada é
1+G(s)=0Longrightarrow1+Ks(s+1)(s+3)=0
Multiplicando:
s(s+1)(s+3)+K=0;;Longrightarrow;;s^3+4s^2+3s+K=0,
Os polos abertos são em , e .

Passo 3

Explicaçāo rápida de root locus:
  • Temos 3 polos e nenhum zero, então 3 ramos partindo desses polos.
  • No eixo real, o ramo vai de a e de a .
  • As assíntotas dos ramos que vão para infinito são dadas pelos ângulos
    , ou seja .
    Não precisamos de um desenho perfeito; vamos direto achar onde o locus cruza a reta de amortecimento .

Passo 4

O fator de amortecimento zeta;=;-ResraizRes^2+Ims^2 ;Longrightarrow; sigmaraizsigma^2+omega^2=0.5 de um pólo s=-sigma;+;j,sigmaraiz3(sigma>0) é
Dessa relação segue que
.
Ou seja, qualquer ponto com satisfaz

Passo 5

Agora vêm as condições do root locus:
  1. Condição de ângulo:
    ang<=(s-0)+ang<=(s+1)+ang<=(s+3)=180° dos ângulos das distâncias até cada polo deve dar underbrace120°ang<=(-sigma+jraiz3sigma;-;0) ;+;arctan!l(tfracraiz3sigma1-sigmar) ;+;arctan!l(tfracraiz3sigma3-sigmar) =180° .
    Seja arctan!l(tfracraiz3sigma1-sigmar) +arctan!l(tfracraiz3sigma3-sigmar) =60° . Então: Substituindo , temos Isolando os dois últimos arctans:

Passo 6

Resolvendo numericamente essa equação (testando valores de sapprox -0,375 ;+;j,0,65 ):
encontra-se .
Então .
Ou seja o ponto crítico é

Passo 7

Condição de módulo (pra achar |G(s)|=1 Longrightarrow K=|s(s+1)(s+3)| ):
|s|&=raiz0.375^2+0.65^2approx0.75, |s+1|&=raiz(0.625)^2+(0.65)^2approx0.90, |s+3|&=raiz(2.625)^2+(0.65)^2approx2.70
Calculando cada termo em Kapprox0.75;times0.90;times2.70;approx1.83 :

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Resposta

O valor de boxedKapprox1,83 para que o sistema tenha é aproximadamente

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