Esquematize o local das raízes para a função de transferência em malha aberta de o sistema de controle feedback dado abaixo e determine:
O valor de para .
Passo 1
O enunciado pede pra gente esboçar o lugar das raízes (root locus) de
e, mais especificamente, encontrar o valor de para que o sistema fechado tenha fator de amortecimento .
Conteúdo: lugar das raízes e relação entre pólos e fator de amortecimento.
Vamos precisar de:
1) Montar a equação característica do sistema em malha fechada.
2) Entender o que é fator de amortecimento () e como isso vira uma reta no plano .
3) Aplicar as condições de ângulo e de módulo do root locus para achar o ponto de interseção com essa reta.
Passo 2
Primeiro, a equação de malha fechada é
Multiplicando:
Os polos abertos são em , e .
Passo 3
Explicaçāo rápida de root locus:
Temos 3 polos e nenhum zero, então 3 ramos partindo desses polos.
No eixo real, o ramo vai de a e de a .
As assíntotas dos ramos que vão para infinito são dadas pelos ângulos , ou seja .
Não precisamos de um desenho perfeito; vamos direto achar onde o locus cruza a reta de amortecimento .
Passo 4
O fator de amortecimento de um pólo é
Dessa relação segue que .
Ou seja, qualquer ponto com satisfaz
Passo 5
Agora vêm as condições do root locus:
Condição de ângulo: dos ângulos das distâncias até cada polo deve dar .
Seja . Então:Substituindo , temosIsolando os dois últimos arctans:
Passo 6
Resolvendo numericamente essa equação (testando valores de sapprox -0,375 ;+;j,0,65 ):
encontra-se .
Então .
Ou seja o ponto crítico é
Passo 7
Condição de módulo (pra achar |G(s)|=1 Longrightarrow K=|s(s+1)(s+3)| ):