• Dado um sistema com realimentação unitária que possui a função de transferência em malha aberta:
G(s)=K(s+2)(s^2+4 s+13)
Se o ponto especificado no item a) estiver sobre o LGR , determine o ganho, K, utilizando os comprimento dos vetores.

Passo 1

Então, a questão diz que temos um sistema em malha aberta com
G(s)=K,(s+2)s^2+4s+13
e que um ponto qualquer (o “item a)” que a gente não recebeu aqui, mas pode ser ) está sobre o Lugar das Raízes (LGR).
Matéria envolvida: teoria de LGR em sistemas de controle, mais especificamente a condição de módulo/ganho:
- Se um ponto está no LGR, vale .
O que vamos precisar:
1. Saber onde estão os polos e zeros de .
2. Aplicar a condição de módulo do LGR para encontrar .

Passo 2

Primeiro, vamos identificar polos e zeros de :
  • Zero em (vindos do ).
  • Polos nas raízes de , ou seja
    .

Passo 3

A condição de módulo para um ponto l|K;G(s0)r|=1Longrightarrow K=1l|G(s0)r| estar no LGR é
G(s0)=K,(s0+2)(s0 - (-2+j3)),(s0 - (-2-j3)),,
Como
l|G(s0)r|=|s0+2||s0+2-j3|;,|s0+2+j3|,
aqui a gente isola K=1|G(s0)| =|s0+2-j3|;,|s0+2+j3||s0+2|, e usa apenas o módulo:

Logo
$$K=\frac{1}{|G(s_0)|}
   =\frac{|s_0+2-j3|\;\,|s_0+2+j3|}{|s_0+2|}\,. $$

Resposta

Para o ponto boxedK ;=;l|,s0 +2 - j3r|;l|,s0 +2 + j3r|l|,s0 +2r|, especificado no item a), o ganho que coloca no LGR é

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