Dado um sistema com realimentação unitária que possui a função de transferência em malha aberta:
Se o ponto especificado no item a) estiver sobre o LGR , determine o ganho, , utilizando os comprimento dos vetores.
Passo 1
Então, a questão diz que temos um sistema em malha aberta com
e que um ponto qualquer (o “item a)” que a gente não recebeu aqui, mas pode ser ) está sobre o Lugar das Raízes (LGR).
Matéria envolvida: teoria de LGR em sistemas de controle, mais especificamente a condição de módulo/ganho:
- Se um ponto está no LGR, vale .
O que vamos precisar:
1. Saber onde estão os polos e zeros de .
2. Aplicar a condição de módulo do LGR para encontrar .
Passo 2
Primeiro, vamos identificar polos e zeros de :
Zero em (vindos do ).
Polos nas raízes de , ou seja .
Passo 3
A condição de módulo para um ponto l|K;G(s0)r|=1Longrightarrow K=1l|G(s0)r| estar no LGR é
G(s0)=K,(s0+2)(s0 - (-2+j3)),(s0 - (-2-j3)),,
Como l|G(s0)r|=|s0+2||s0+2-j3|;,|s0+2+j3|,
aqui a gente isola K=1|G(s0)| =|s0+2-j3|;,|s0+2+j3||s0+2|, e usa apenas o módulo:
Logo
$$K=\frac{1}{|G(s_0)|}
=\frac{|s_0+2-j3|\;\,|s_0+2+j3|}{|s_0+2|}\,. $$
Resposta
Para o ponto boxedK ;=;l|,s0 +2 - j3r|;l|,s0 +2 + j3r|l|,s0 +2r|, especificado no item a), o ganho que coloca no LGR é