Dado um sistema com resposta impulsiva
tal que:
Assinale a alternativa falsa:
Se a entrada ao sistema é limitada em duração, a saída também é limitada em duração.
Se a entrada ao sistema é limitada em duração, a saída também é limitada em duração.
Passo 1
Vamos resumir o que o exercício está pedindo. Temos um sistema com uma resposta impulsiva
que satisfaz a condição:
O conteúdo envolvido aqui é de Sistemas Lineares e Invariante no Tempo (SLIT) e a análise da duração dos sinais de entrada e saída. Precisamos verificar se a afirmação:
“Se a entrada ao sistema é limitada em duração, a saída também é limitada em duração.”
é verdadeira ou falsa, com base na condição fornecida.
“Se a entrada ao sistema é limitada em duração, a saída também é limitada em duração.”
é verdadeira ou falsa, com base na condição fornecida.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que significa a integral de
ser igual a 1,8. Essa integral é conhecida como a norma
da resposta impulsiva e, quando é finita, indica que o sistema é BIBO (Bounded Input, Bounded Output) estável. Isso quer dizer que se a entrada ao sistema for limitada em amplitude, a saída também será limitada em amplitude.
Passo 3
Agora, vamos focar na duração dos sinais. A duração de um sinal limitado em tempo significa que ele é diferente de zero apenas em um intervalo finito de tempo. Se a entrada ao sistema tem duração limitada, queremos saber se a saída também terá duração limitada.
Para sistemas Lineares e Invariantes no Tempo (SLIT), a saída é obtida pela convolução da entrada
com a resposta impulsiva
:
Mesmo que
seja limitado em duração, se
tiver suporte infinito (ou seja, for diferente de zero para todo
), a convolução pode resultar em uma saída
que também tem suporte infinito, ou seja, não é limitada em duração.
Passo 4
No nosso caso, sabemos que
, que é uma condição para estabilidade BIBO, mas não nos informa nada sobre a duração de
. Se
for não nulo para todo
, então mesmo uma entrada com duração limitada pode gerar uma saída com duração infinita.
Resposta
A alternativa “Se a entrada ao sistema é limitada em duração, a saída também é limitada em duração.” é falsa.