Para o sistema
, determine a resposta total quando a entrada é um impulso unitário.
Passo 1
Beleza, vamos dar uma olhada no que a questão está pedindo. Temos uma equação diferencial que relaciona
e
ao longo do tempo
. A equação é:
A matéria envolvida aqui é equações diferenciais lineares e sistemas dinâmicos. Para resolver, vamos precisar usar a Transformada de Laplace, que ajuda a transformar equações no tempo para o domínio da frequência, facilitando a resolução de equações diferenciais.
Passo 2
Primeiro, vamos aplicar a Transformada de Laplace em toda a equação. Lembrando que a Transformada de Laplace de uma derivada é dada por:
onde
é a transformada de
e
é a variável de Laplace.
Aplicando isso na nossa equação:
Passo 3
Vamos considerar que a entrada é um impulso unitário. A Transformada de Laplace de um impulso
é 1, ou seja,
. Além disso, vamos assumir que
porque um impulso não tem história antes de
.
Substituindo esses valores na equação:
Simplificando:
Passo 4
Agora, vamos juntar os termos com
:
Passo 5
Para isolar
, dividimos ambos os lados por
:
Passo 6
Agora, precisamos achar a transformada inversa de
para voltar ao domínio do tempo
. Vamos separar a fração:
Sabemos que:
e
Passo 7
Aplicando a transformada inversa:
Simplificando os coeficientes:
Resposta
A resposta total do sistema para um impulso unitário é: