Para o sistema d yd t+8,4 y=3,6 d xd t-6,9 x y(0)=-0,4, determine a resposta total quando a entrada é um impulso unitário.

Passo 1

Beleza, vamos dar uma olhada no que a questão está pedindo. Temos uma equação diferencial que relaciona d yd t + 8,4, y = 3,6, d xd t - 6,9, x com y(0) = -0,4 e ao longo do tempo . A equação é:
A matéria envolvida aqui é equações diferenciais lineares e sistemas dinâmicos. Para resolver, vamos precisar usar a Transformada de Laplace, que ajuda a transformar equações no tempo para o domínio da frequência, facilitando a resolução de equações diferenciais.

Passo 2

Primeiro, vamos aplicar a Transformada de Laplace em toda a equação. Lembrando que a Transformada de Laplace de uma derivada é dada por:
L d yd t = s Y(s) - y(0)
onde s Y(s) - y(0) + 8,4 Y(s) = 3,6 [ s X(s) - x(0) ] - 6,9 X(s) é a transformada de e é a variável de Laplace.
Aplicando isso na nossa equação:

Passo 3

Vamos considerar que a entrada é um impulso unitário. A Transformada de Laplace de um impulso s Y(s) - (-0,4) + 8,4 Y(s) = 3,6 [ s cdot 1 - 0 ] - 6,9 cdot 1 é 1, ou seja, s Y(s) + 0,4 + 8,4 Y(s) = 3,6 s - 6,9 . Além disso, vamos assumir que porque um impulso não tem história antes de .
Substituindo esses valores na equação:
Simplificando:

Passo 4

Agora, vamos juntar os termos com (s + 8,4) Y(s) = 3,6 s - 6,9 - 0,4 :
(s + 8,4) Y(s) = 3,6 s - 7,3

Passo 5

Para isolar Y(s) = 3,6 s - 7,3s + 8,4 , dividimos ambos os lados por :

Passo 6

Agora, precisamos achar a transformada inversa de Y(s) = 3,6 cdot ss + 8,4 - 7,3 cdot 1s + 8,4 para voltar ao domínio do tempo L^-1 ss + a = e^-a t . Vamos separar a fração:
L^-1 1s + a = e^-a t
Sabemos que:
e

Passo 7

Aplicando a transformada inversa:
y(t) = 3,6 e^-8,4 t - 7,3 e^-8,4 t
Simplificando os coeficientes:
y(t) = (3,6 - 7,3) e^-8,4 t = -3,7, e^-8,4 t

Resposta

A resposta total do sistema para um impulso unitário é:
y(t) = -3,7, e^-8,4 t

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