Determine o ponto de equilíbrio para entrada nula para as seguintes condições iniciais:
para a equação diferencial
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício pede pra gente encontrar o ponto de equilíbrio quando a entrada é nula, ou seja, sem nenhuma influência externa. A equação diferencial que temos é de terceira ordem:
E as condições iniciais são:
,
, e
. Para resolver isso, vamos precisar entender o que é um ponto de equilíbrio e como encontrá-lo em uma equação diferencial.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que é um ponto de equilíbrio. Em sistemas dinâmicos, como essa equação diferencial, o ponto de equilíbrio é o valor constante de
onde todas as derivadas de
em relação ao tempo são zero. Isso significa que, se o sistema chegar nesse ponto, ele vai permanecer estável, sem mais mudanças.
Passo 3
Como a entrada é nula (
), podemos simplificar a equação diferencial substituindo
por zero. Assim, a equação fica:
Passo 4
No ponto de equilíbrio, todas as derivadas de
são zero. Vamos substituir essas derivadas por zero na equação:
Aqui,
representa o ponto de equilíbrio que queremos encontrar.
Passo 5
Simplificando a equação:
Para encontrar
, dividimos ambos os lados por 3:
Resposta
O ponto de equilíbrio para entrada nula é
.