Determine o ponto de equilíbrio para entrada nula para as seguintes condições iniciais: y(0)=-3 ; doty(0)=0 ; ddoty(0)=0 para a equação diferencial d^3 yd t^3+5 d^2 yd t^2+7 d yd t+3 y=4 d xd t-6 x

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede pra gente encontrar o ponto de equilíbrio quando a entrada é nula, ou seja, sem nenhuma influência externa. A equação diferencial que temos é de terceira ordem:
d^3 yd t^3 + 5 d^2 yd t^2 + 7 d yd t + 3 y = 4 d xd t -6 x
E as condições iniciais são: , , e . Para resolver isso, vamos precisar entender o que é um ponto de equilíbrio e como encontrá-lo em uma equação diferencial.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que é um ponto de equilíbrio. Em sistemas dinâmicos, como essa equação diferencial, o ponto de equilíbrio é o valor constante de onde todas as derivadas de em relação ao tempo são zero. Isso significa que, se o sistema chegar nesse ponto, ele vai permanecer estável, sem mais mudanças.

Passo 3

Como a entrada é nula ( d^3 yd t^3 + 5 d^2 yd t^2 + 7 d yd t + 3 y = 0 ), podemos simplificar a equação diferencial substituindo por zero. Assim, a equação fica:

Passo 4

No ponto de equilíbrio, todas as derivadas de 0 + 0 + 0 + 3 ye = 0 são zero. Vamos substituir essas derivadas por zero na equação:
Aqui, representa o ponto de equilíbrio que queremos encontrar.

Passo 5

Simplificando a equação:
3 ye = 0
Para encontrar ye = 0 , dividimos ambos os lados por 3:

Resposta

O ponto de equilíbrio para entrada nula é .

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