Determine o ponto de equilíbrio para entrada nula para as seguintes condições iniciais:
para a equação diferencial
Passo 1
Beleza, vamos começar entendendo o que a questão está pedindo. Temos uma equação diferencial de terceira ordem:
O objetivo é determinar o ponto de equilíbrio para entrada nula. Isso significa que vamos considerar que a entrada
é zero. Além disso, temos as condições iniciais:
Vamos precisar usar conceitos de equilíbrio de sistemas dinâmicos e equações diferenciais lineares.
Passo 2
Primeiro, como a entrada é nula (
), podemos simplificar a equação diferencial substituindo
por zero:
Então, a equação fica:
Passo 3
No ponto de equilíbrio, todas as derivadas de
em relação ao tempo são zero, ou seja:
Substituindo essas na equação simplificada:
Isso nos mostra que a equação está satisfeita para qualquer valor constante de
.
Passo 4
Agora, para determinar o ponto de equilíbrio, precisamos considerar o valor constante de
que não muda com o tempo. Como não há entrada e todas as derivadas são zero, o valor de
permanece constante.
Além disso, consideramos as condições iniciais para confirmar esse valor. Dado que
e as derivadas iniciais são zero, isso indica que o sistema está já no ponto de equilíbrio.
Passo 5
Portanto, o ponto de equilíbrio para entrada nula, com as condições iniciais dadas, é simplesmente o valor constante de
, que é:
Resposta
O ponto de equilíbrio para entrada nula é
.