Determine o ponto de equilíbrio para entrada nula para as seguintes condições iniciais: y(0)=-3 ; doty(0)=0 ; ddoty(0)=0 para a equação diferencial d^3 yd t^3+d^2 yd t^2+2 d yd t=8 d^2 xd t^2-d xd t+2,2 x

Passo 1

Beleza, vamos começar entendendo o que a questão está pedindo. Temos uma equação diferencial de terceira ordem:
d^3 yd t^3 + d^2 yd t^2 + 2 d yd t = 8 d^2 xd t^2 - d xd t + 2.2 x
O objetivo é determinar o ponto de equilíbrio para entrada nula. Isso significa que vamos considerar que a entrada y(0) = -3; doty(0) = 0; ddoty(0) = 0 é zero. Além disso, temos as condições iniciais:
Vamos precisar usar conceitos de equilíbrio de sistemas dinâmicos e equações diferenciais lineares.

Passo 2

Primeiro, como a entrada é nula ( 8 d^2 (0)d t^2 - d (0)d t + 2.2 cdot 0 = 0 ), podemos simplificar a equação diferencial substituindo d^3 yd t^3 + d^2 yd t^2 + 2 d yd t = 0 por zero:
Então, a equação fica:

Passo 3

No ponto de equilíbrio, todas as derivadas de d yd t = 0; d^2 yd t^2 = 0; d^3 yd t^3 = 0 em relação ao tempo são zero, ou seja:
0 + 0 + 2 cdot 0 = 0
Substituindo essas na equação simplificada:
Isso nos mostra que a equação está satisfeita para qualquer valor constante de .

Passo 4

Agora, para determinar o ponto de equilíbrio, precisamos considerar o valor constante de que não muda com o tempo. Como não há entrada e todas as derivadas são zero, o valor de permanece constante.
Além disso, consideramos as condições iniciais para confirmar esse valor. Dado que e as derivadas iniciais são zero, isso indica que o sistema está já no ponto de equilíbrio.

Passo 5

Portanto, o ponto de equilíbrio para entrada nula, com as condições iniciais dadas, é simplesmente o valor constante de y = -3 , que é:

Resposta

O ponto de equilíbrio para entrada nula é .

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