(UF-MS) Dado o sistema a seguir, e considerando log o logaritmo na base 10, assinale a(s) afirmação(ões) correta(s).
\left\{\begin{array}{l}3^{(8 y-x)}=0,111111 \ldots \\\ \log x-\log y=1\end{array}\right.
(001) \log (x-9 y)=0
(002) \log (x+9 y)=1
(004) (x+y)=10
(008) (\mathrm{x} \cdot \mathrm{y})=10
(016) \left(\frac{x}{y}\right)=10

Passo 1

O enunciado dá o seguinte sistema (o log é na base 10):
\begin{cases} 3^{(8y-x)} = 0,111111\ldots\\[4pt] \log x - \log y = 1 \end{cases}
E pede que se assinale quais das afirmações abaixo são verdadeiras:
\text{(001) }\log(x-9y)=0,\quad \text{(002) }\log(x+9y)=1,\quad \text{(004) }(x+y)=10,
\text{(008) }(x\cdot y)=10,\quad \text{(016) }\left(\dfrac{x}{y}\right)=10.
As informações relevantes fornecidas pelo enunciado são exatamente as duas equações do sistema acima. Neste passo apenas listei o que foi dado e o que é pedido; a resolução começa no Passo 2.]

Passo 2

Transformar o número decimal repetido 0,111111\ldots em fração (truque padrão):
Seja s=0,111111\ldots. Multiplicando por 10 tem-se 10s=1,111111\ldots.
Subtraindo s de 10s:
10s-s = 1{,}111111\ldots - 0{,}111111\ldots = 1.
Logo 9s=1 e portanto
s=\frac{1}{9}.
Portanto a primeira equação fica
3^{(8y-x)}=\frac{1}{9}.

Passo 3

Expressar \dfrac{1}{9} como potência de 3. Como 9=3^2, tem-se
\frac{1}{9}=3^{-2}.
Assim
3^{(8y-x)}=3^{-2}.
Como a base 3 é positiva e diferente de 1, podemos igualar os expoentes:
8y-x=-2.
Rearranjando,
x-8y=2.

Passo 4

Usar a propriedade dos logaritmos na segunda equação. A identidade é
\log a - \log b = \log\!\left(\frac{a}{b}\right).
Aplicando a \log x - \log y = 1 obtemos
\log\!\left(\frac{x}{y}\right)=1.
Como o log é na base 10, a definição de log dá
\frac{x}{y}=10^{1}=10.
Portanto
x=10y.

Passo 5

Resolver o sistema linear formado por x=10y e x-8y=2. Substituindo x=10y na segunda:
10y-8y=2 \quad\Rightarrow\quad 2y=2 \quad\Rightarrow\quad y=1.
E então
x=10y=10\cdot 1=10.
Conclusão: (x,y)=(10,1).

Passo 6

Avaliar cada afirmação usando x=10 e y=1.
(001) Calcular \log(x-9y):
x-9y = 10-9\cdot 1 = 1, \qquad \log(1)=0.
Portanto (001) é verdadeira.
(002) Calcular \log(x+9y):
x+9y = 10+9\cdot 1 = 19, \qquad \log(19)\neq 1\\ (\text{pois }10^{1}=10\neq 19).
Portanto (002) é falsa.
(004) Calcular x+y:
x+y = 10+1 = 11 \neq 10.
Portanto (004) é falsa.
(008) Calcular x\cdot y:
x\cdot y = 10\cdot 1 = 10.
Portanto (008) é verdadeira.
(016) Calcular \dfrac{x}{y}:
\frac{x}{y}=\frac{10}{1}=10.
Portanto (016) é verdadeira.

Resposta

(001),\\ (008),\\ (016)

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