(UF-MS) Dado o sistema a seguir, e considerando log o logaritmo na base 10, assinale a(s) afirmação(ões) correta(s).
(001)
(002)
(004)
(008)
(016)
(001)
(002)
(004)
(008)
(016)
Passo 1
O enunciado dá o seguinte sistema (o log é na base 10):
E pede que se assinale quais das afirmações abaixo são verdadeiras:
As informações relevantes fornecidas pelo enunciado são exatamente as duas equações do sistema acima. Neste passo apenas listei o que foi dado e o que é pedido; a resolução começa no Passo 2.]
Passo 2
Transformar o número decimal repetido
em fração (truque padrão):
Seja . Multiplicando por
tem-se
.
Subtraindo de
:
Seja
Subtraindo
Logo
e portanto
Portanto a primeira equação fica
Passo 3
Expressar
como potência de
. Como
, tem-se
Assim
Como a base
é positiva e diferente de
, podemos igualar os expoentes:
Rearranjando,
Passo 4
Usar a propriedade dos logaritmos na segunda equação. A identidade é
Aplicando a
obtemos
Como o log é na base
, a definição de log dá
Portanto
Passo 5
Resolver o sistema linear formado por
e
. Substituindo
na segunda:
E então
Conclusão:
.
Passo 6
Avaliar cada afirmação usando
e
.
(001) Calcular
:
Portanto (001) é verdadeira.
(002) Calcular
:
Portanto (002) é falsa.
(004) Calcular
:
Portanto (004) é falsa.
(008) Calcular
:
Portanto (008) é verdadeira.
(016) Calcular
:
Portanto (016) é verdadeira.