(UF-PI) O gráfico da função f:[0,+\infty) \rightarrow \mathbb{R}, definida por f(t)=\frac{B}{1+A e^{-B k t}}, na qual A, B e k são constantes positivas, é uma curva denominada curva logística. Essas curvas ilustram modelos de crescimento populacional, diante da influência de fatores ambientais no tamanho possível de uma população, também descrevem expansão de epidemias e, até, boatos numa comunidade! Sendo assim, considere a seguinte situação: admita que, t semanas após a constatação de uma forma rara de gripe, aproximadamente f(t)=\frac{36}{1+17 e^{-1,5 t}} milhares de pessoas tenham adquirido a doença. Nessas condições, quantas pessoas haviam adquirido a doença quando foi constatada a existência dessa gripe?
a) 1000 pessoas
b) 2000 pessoas
c) 2500 pessoas
d) 3600 pessoas

Passo 1

O enunciado fornece a função logística, no caso particular
f(t)=\frac{36}{1+17 e^{-1,5 t}},
onde t é o tempo em semanas e f(t) dá o número de pessoas, em milhares, que adquiriram a doença t semanas após a constatação. A pergunta é: quantas pessoas haviam adquirido a doença quando foi constatada a existência dessa gripe? Ou seja, pede-se o valor de f(t) no instante inicial correspondente à constatação.

Passo 2

Identificar o instante pedido. “Quando foi constatada a existência dessa gripe” corresponde ao instante inicial, isto é, t=0. Então precisamos calcular o valor f(0). Escrevendo isso na forma matemática:
f(0)=\frac{36}{1+17 e^{-1,5\cdot 0}}.

Passo 3

Simplificar o expoente e a expressão com atenção passo a passo. Primeiro, qualquer número elevado a zero vale 1, logo
e^{-1,5\cdot 0}=e^{0}=1.
Substituindo na expressão para f(0):
f(0)=\frac{36}{1+17\cdot 1}=\frac{36}{1+17}.
Calcule 1+17:
1+17=18.
Portanto
f(0)=\frac{36}{18}.

Passo 4

Fazer a divisão e converter unidades. Dividindo:
\frac{36}{18}=2.
Lembre que f(t) está em milhares de pessoas. Então f(0)=2 significa 2 milhares de pessoas, isto é:
2\times 1000 = 2000\\ \text{pessoas}.
Comparando com as alternativas, corresponde à alternativa (b).

Passo 5

Uma breve aula prática para consolidar (como fazer rápido na prova). Para a função dada, em geral,
f(t)=\frac{B}{1+A e^{-1,5 t}}
(ou na forma do enunciado com os parâmetros A,B,k); o valor inicial sempre é obtido por t=0, o que reduz a expressão a
f(0)=\frac{B}{1+A},
porque e^{0}=1. Aqui B=36 e A=17, então f(0)=36/(1+17)=36/18=2 (milhares). Dica rápida para a prova: ao ver uma função logística, calcule f(0) usando essa fórmula direta — é curto e evita erros. Exemplo extra: se B=50 e A=2, então f(0)=50/(1+2)=50/3 milhares =16666\ldots pessoas (aproximadamente).

Passo 6

Resumo e ânimo: substituiu t=0, simplificou e^{0}=1, fez a divisão e converteu milhares para pessoas. Está feito — você conseguiu! Vai dar certo na prova.

Resposta

b) 2000 pessoas

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