(FEI-SP) Sendo f(x)=\left(\frac{5}{4}\right)^{x} para x \in \mathbb{R}, pode-se afirmar que:
a) O gráfico de f intercepta o eixo x em apenas um ponto.
b) f é decrescente.
c) O conjunto imagem de f é dado por \operatorname{Im}(\mathrm{f})=] 0,+\infty[.
d) O gráfico de f intercepta o eixo y no ponto \left(0, \frac{5}{4}\right).

Passo 1

O enunciado dá a função f\colon \mathbb{R}\to\mathbb{R} definida por f(x)=\left(\dfrac{5}{4}\right)^{x}. Precisa-se avaliar a veracidade das afirmações:
a) O gráfico de f intercepta o eixo x em apenas um ponto.
b) f é decrescente.
c) O conjunto imagem de f é dado por \operatorname{Im}(f)=\,]0,+\infty[.
d) O gráfico de f intercepta o eixo y no ponto \left(0,\dfrac{5}{4}\right).
Informações relevantes fornecidas: a base da exponencial é a=\dfrac{5}{4} (note que a>1) e o domínio é todo \mathbb{R}.

Passo 2

Entender o comportamento básico de uma exponencial a^{x} depende da base a:
  • Se a>1, então a^{x} cresce quando x aumenta (função estritamente crescente).
  • Se 0<a<1, então a^{x} decresce quando x aumenta (função estritamente decrescente).
    Explicação rápida do porquê: podemos escrever a^{x}=e^{x\ln a}. Para a>1 tem-se \ln a>0, portanto x\mapsto x\ln a é crescente e e^{(\cdot)} é crescente, logo a^{x} é crescente. Aqui a=\dfrac{5}{4}>1, então f é crescente.

Passo 3

Determinar a imagem (valores possíveis de f(x)). Usando f(x)=e^{x\ln(5/4)}:
  • Quando x\to+\infty temos x\ln(5/4)\to+\infty, então f(x)\to+\infty.
  • Quando x\to-\infty temos x\ln(5/4)\to-\infty, então f(x)\to0.
    Como e^{(\cdot)} nunca é zero e atinge todos os valores positivos, segue que a imagem é o intervalo aberto \,]0,+\infty[. Portanto a afirmação (c) é verdadeira.

Passo 4

Analisar interceptos com os eixos:
  • Intercepto com o eixo y ocorre em x=0. Calcula-se f(0)=\left(\dfrac{5}{4}\right)^{0}=1. Logo o gráfico intercepta o eixo y no ponto \,(0,1), e não em \left(0,\dfrac{5}{4}\right). Assim a afirmação (d) é falsa.
  • Intercepto com o eixo x ocorre quando f(x)=0. Resolver \left(\dfrac{5}{4}\right)^{x}=0 não tem solução, porque uma potência de uma base positiva nunca é 0. Logo o gráfico NÃO intercepta o eixo x (nenhum ponto), o que torna a afirmação (a) falsa (ela dizia que intercepta em apenas um ponto).

Passo 5

Confirmar monotonicidade (relacionado à (b)): já explicamos que para a>1 a exponencial é crescente. Uma forma simples de verificar em prova sem cálculo é comparar valores: por exemplo,
\left(\frac{5}{4}\right)^{1}=\frac{5}{4}=1,25,\qquad \left(\frac{5}{4}\right)^{2}=\frac{25}{16}=1,5625,
claramente cresce ao aumentar x. Portanto a afirmação (b) " f é decrescente" é falsa.

Passo 6

Resumo das conclusões:
  • (a) falsa (não há solução para f(x)=0, logo zero interseções com o eixo x).
  • (b) falsa (a função é crescente porque a base \dfrac{5}{4}>1).
  • (c) verdadeira ( \operatorname{Im}(f)=\,]0,+\infty[).
  • (d) falsa (intercepto em y é (0,1), não \left(0,\dfrac{5}{4}\right)).

Resposta

a) Falsa
b) Falsa
c) Verdadeira
d) Falsa

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