(FEI-SP) Sendo
para
, pode-se afirmar que:
a) O gráfico de
intercepta o eixo
em apenas um ponto.
b)
é decrescente.
c) O conjunto imagem de
é dado por
.
d) O gráfico de
intercepta o eixo
no ponto
.
a) O gráfico de
b)
c) O conjunto imagem de
d) O gráfico de
Passo 1
O enunciado dá a função
definida por
. Precisa-se avaliar a veracidade das afirmações:
a) O gráfico de intercepta o eixo
em apenas um ponto.
b) é decrescente.
c) O conjunto imagem de é dado por
.
d) O gráfico de intercepta o eixo
no ponto
.
a) O gráfico de
b)
c) O conjunto imagem de
d) O gráfico de
Informações relevantes fornecidas: a base da exponencial é
(note que
) e o domínio é todo
.
Passo 2
Entender o comportamento básico de uma exponencial
depende da base
:
- Se
, então cresce quando aumenta (função estritamente crescente). - Se
, então decresce quando aumenta (função estritamente decrescente).
Explicação rápida do porquê: podemos escrever. Para tem-se , portanto é crescente e é crescente, logo é crescente. Aqui , então é crescente.
Passo 3
Determinar a imagem (valores possíveis de
). Usando
:
- Quando
temos , então . - Quando
temos , então .
Comonunca é zero e atinge todos os valores positivos, segue que a imagem é o intervalo aberto . Portanto a afirmação (c) é verdadeira.
Passo 4
Analisar interceptos com os eixos:
- Intercepto com o eixo
ocorre em . Calcula-se . Logo o gráfico intercepta o eixo no ponto , e não em . Assim a afirmação (d) é falsa. - Intercepto com o eixo
ocorre quando . Resolver não tem solução, porque uma potência de uma base positiva nunca é . Logo o gráfico NÃO intercepta o eixo (nenhum ponto), o que torna a afirmação (a) falsa (ela dizia que intercepta em apenas um ponto).
Passo 5
Confirmar monotonicidade (relacionado à (b)): já explicamos que para
a exponencial é crescente. Uma forma simples de verificar em prova sem cálculo é comparar valores: por exemplo,
claramente cresce ao aumentar
. Portanto a afirmação (b) "
é decrescente" é falsa.
Passo 6
Resumo das conclusões:
- (a) falsa (não há solução para
, logo zero interseções com o eixo ). - (b) falsa (a função é crescente porque a base
). - (c) verdadeira (
). - (d) falsa (intercepto em
é , não ).
Resposta
a) Falsa
b) Falsa
c) Verdadeira
d) Falsa
b) Falsa
c) Verdadeira
d) Falsa