Dado o sistema
Calcule o posto da matriz ampliada.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse sistema de equações juntos! A questão pede para calcular o posto da matriz ampliada desse sistema. Isso faz parte da matéria de Álgebra Linear, onde a gente estuda matrizes e suas propriedades. Para resolver isso, vamos precisar montar a matriz ampliada das equações e depois simplificá-la usando operações de linha para descobrir o posto.
Passo 2
Primeiro, vamos montar a matriz ampliada do sistema. Isso significa que colocamos os coeficientes das incógnitas e os termos constantes das equações em forma de matriz. As equações dadas são:
A matriz ampliada fica assim:
Passo 3
Agora, vamos usar operações elementares de linha para simplificar essa matriz. O objetivo é deixá-la numa forma onde fique mais fácil de identificar o posto. As operações que podemos fazer são: trocar linhas, multiplicar uma linha por um número diferente de zero, e somar ou subtrair múltiplos de uma linha de outra linha.
Vamos começar subtraindo a primeira linha das segunda, da terceira e da quarta para eliminar o primeiro elemento das outras linhas:
- Linha 2 = Linha 2 - Linha 1:
-
Linha 3 = Linha 3 - 0 * Linha 1 (na verdade, a primeira coluna já está 0 na linha 3, então permanece igual).
-
Linha 4 = Linha 4 - Linha 1:
Nossa matriz agora fica:
Passo 4
Continuando a simplificação, vamos focar na segunda coluna. Podemos somar a segunda linha à terceira para eliminar o 1 na terceira linha:
- Linha 3 = Linha 3 + Linha 2:
Agora, nossa matriz fica:
Veja que a terceira e a quarta linhas são múltiplas uma da outra. Podemos simplificar ainda mais:
- Linha 4 = Linha 4 + Linha 3:
A matriz final fica:
Passo 5
Agora, vamos identificar o posto da matriz ampliada, que é o número de linhas não nulas na forma simplificada. Olhando para a matriz final:
- A primeira linha tem elementos diferentes de zero.
- A segunda linha também.
- A terceira linha tem um elemento não zero.
- A quarta linha é toda zero.
Então, temos 3 linhas não nulas.
Resposta
O posto da matriz ampliada é 3.