Dado o sistema
x+y-w & =0 x-z+w & =2 y+z-w & =-3 x+y-2 w & =1
Calcule o posto da matriz ampliada.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse sistema de equações juntos! A questão pede para calcular o posto da matriz ampliada desse sistema. Isso faz parte da matéria de Álgebra Linear, onde a gente estuda matrizes e suas propriedades. Para resolver isso, vamos precisar montar a matriz ampliada das equações e depois simplificá-la usando operações de linha para descobrir o posto.

Passo 2

Primeiro, vamos montar a matriz ampliada do sistema. Isso significa que colocamos os coeficientes das incógnitas e os termos constantes das equações em forma de matriz. As equações dadas são:
x + y - w = 0 x - z + w = 2 y + z - w = -3 x + y - 2w = 1
A matriz ampliada fica assim:
1 & 1 & 0 & -1 & | & 0 1 & 0 & -1 & 1 & | & 2 0 & 1 & 1 & -1 & | & -3 1 & 1 & 0 & -2 & | & 1

Passo 3

Agora, vamos usar operações elementares de linha para simplificar essa matriz. O objetivo é deixá-la numa forma onde fique mais fácil de identificar o posto. As operações que podemos fazer são: trocar linhas, multiplicar uma linha por um número diferente de zero, e somar ou subtrair múltiplos de uma linha de outra linha.
Vamos começar subtraindo a primeira linha das segunda, da terceira e da quarta para eliminar o primeiro elemento das outras linhas:
  • Linha 2 = Linha 2 - Linha 1:
1 - 1 = 0, 0 - 1 = -1, -1 - 0 = -1, 1 - (-1) = 2
  • Linha 3 = Linha 3 - 0 * Linha 1 (na verdade, a primeira coluna já está 0 na linha 3, então permanece igual).
  • Linha 4 = Linha 4 - Linha 1:
1 - 1 = 0, 1 - 1 = 0, 0 - 0 = 0, -2 - (-1) = -1
Nossa matriz agora fica:
1 & 1 & 0 & -1 & | & 0 0 & -1 & -1 & 2 & | & 2 0 & 1 & 1 & -1 & | & -3 0 & 0 & 0 & -1 & | & 1

Passo 4

Continuando a simplificação, vamos focar na segunda coluna. Podemos somar a segunda linha à terceira para eliminar o 1 na terceira linha:
  • Linha 3 = Linha 3 + Linha 2:
0 + 0 = 0, 1 + (-1) = 0, 1 + (-1) = 0, -1 + 2 = 1
Agora, nossa matriz fica:
1 & 1 & 0 & -1 & | & 0 0 & -1 & -1 & 2 & | & 2 0 & 0 & 0 & 1 & | & -1 0 & 0 & 0 & -1 & | & 1
Veja que a terceira e a quarta linhas são múltiplas uma da outra. Podemos simplificar ainda mais:
  • Linha 4 = Linha 4 + Linha 3:
0 + 0 = 0, 0 + 0 = 0, 0 + 0 = 0, -1 + 1 = 0
A matriz final fica:
1 & 1 & 0 & -1 & | & 0 0 & -1 & -1 & 2 & | & 2 0 & 0 & 0 & 1 & | & -1 0 & 0 & 0 & 0 & | & 0

Passo 5

Agora, vamos identificar o posto da matriz ampliada, que é o número de linhas não nulas na forma simplificada. Olhando para a matriz final:
  • A primeira linha tem elementos diferentes de zero.
  • A segunda linha também.
  • A terceira linha tem um elemento não zero.
  • A quarta linha é toda zero.
Então, temos 3 linhas não nulas.

Resposta

O posto da matriz ampliada é 3.

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