Para um dado solo arenoso, \mathrm{e}_{\max }=0,75, \mathrm{e}_{\min }=0,46 e \mathrm{G}=2,68. Qual será o peso específico úmido de compactação no campo considerando \mathrm{CR}=78 \% e \mathrm{w}=9 \% ?

Passo 1

O enunciado pede o peso específico úmido de compactação no campo, e nos fornece os seguintes dados:
  • e_{\max}=0,75 (índice de vazios máximo),
  • e_{\min}=0,46 (índice de vazios mínimo),
  • G=2,68 (gravidade específica dos sólidos),
  • \mathrm{CR}=78\% (índice de compactação relativa, que aqui interpretaremos como densidade relativa D_r=0,78),
  • w=9\% (teor de água em porcentagem).
Objetivo claro: encontrar o peso específico úmido \gamma do solo em campo (unidades: \text{kN/m}^3 usualmente).

Passo 2

Vamos calcular primeiro o índice de vazios efetivo em campo e a partir da densidade relativa D_r. A definição de densidade relativa (ou índice de compactação relativa) é:
D_r=\frac{e_{\max}-e}{e_{\max}-e_{\min}},
onde
  • e é o índice de vazios do solo em campo que queremos achar,
  • e_{\max} e e_{\min} são dados.
Isolando e da fórmula obtemos:
e = e_{\max} - D_r\,(e_{\max}-e_{\min}).
Agora substituímos os valores (lembre que \mathrm{CR}=78\%=0,78):
e = 0,75 - 0,78\,(0,75-0,46).
Calcule a diferença dos vazios:
0,75-0,46 = 0,29.
Multiplicando:
0,78\cdot 0,29 = 0,2262.
Portanto
e = 0,75 - 0,2262 = 0,5238.
Arredondando razoavelmente, e\approx 0,524.

Passo 3

Agora vamos relacionar e com o peso específico seco \gamma_d. A fórmula fundamental que liga gravidade específica G, índice de vazios e e peso específico seco é:
\gamma_d = \frac{G\,\gamma_w}{1+e},
onde
  • \gamma_d é o peso específico seco ( \text{kN/m}^3),
  • G é a gravidade específica dos sólidos (adimensional),
  • \gamma_w é o peso específico da água. Aqui usaremos \gamma_w=9,81\\ \text{kN/m}^3 (valor padrão),
  • e é o índice de vazios calculado.
Explicação breve da fórmula (didática): a massa (peso) dos sólidos por unidade de volume total é G\gamma_w multiplicado por fração volumétrica dos sólidos \frac{1}{1+e}. Isso dá o peso por volume quando o solo está seco.
Substituindo os valores:
\gamma_d = \frac{2,68\cdot 9,81}{1+0,5238}.
Calcule o numerador:
2,68\cdot 9,81 = 26,3108\\ \text{kN/m}^3.
Calcule o denominador:
1 + 0,5238 = 1,5238.
Dividindo:
\gamma_d = \frac{26,3108}{1,5238} \approx 17,27\\ \text{kN/m}^3.

Passo 4

Com \gamma_d em mãos, passamos para o peso específico úmido \gamma. A relação entre peso específico úmido, seco e teor de água é:
\gamma = \gamma_d\,(1+w),
onde w é o teor de água em forma decimal. Aqui w=9\%=0,09.
Portanto
\gamma = 17,27\cdot(1+0,09) = 17,27\cdot 1,09.
Multiplicando:
\gamma \approx 18,82\\ \text{kN/m}^3.

Passo 5

Resumo dos passos de cálculo (checagem rápida):
  • Converteu \mathrm{CR} para D_r=0,78.
  • Calculou e\approx 0,5238.
  • Calculou \gamma_d\approx 17,27\\ \text{kN/m}^3 usando G e \gamma_w=9,81\\ \text{kN/m}^3.
  • Aplicou o teor de água w=0,09 para obter \gamma\approx 18,82\\ \text{kN/m}^3.
Pequena observação prática: se quisesse arredondar para duas casas decimais, \gamma\approx 18,82\\ \text{kN/m}^3 é um valor coerente para solos arenosos compactados.

Resposta

\gamma \approx 18,82\\ \text{kN/m}^3

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