Dado
não vazio e
, defina
Mostre que:
a)
e
, caso
.
b)
, caso
.
a)
b)
Passo 1
O enunciado considera um conjunto não vazio
e um escalar
, e define
O objetivo é usar as propriedades de supremum, ínfimum e monotonicidade da multiplicação em
(mais o axioma de completude) para mostrar:
a) se , então
a) se
b) se
, então
Passo 2
Caso
: prova de
.
Se
, então para todo
vale
. Como
, multiplica-se a desigualdade por
sem inverter:
logo
é uma cota superior de
. Agora, seja
qualquer cota superior de
; isto é, para todo
,
Então
é cota superior de
, o que implica
e, portanto,
. Conclui-se que
é a menor cota superior de
.
Passo 3
Caso
: prova de
.
Se
, então para todo
vale
. Multiplicando por
obtém-se
logo
é cota inferior de
. Seja
qualquer cota inferior de
, isto é,
para todo
. Então
é cota inferior de
, logo
e, assim,
. Conclui-se que
é o maior cota inferior de
.
Passo 4
Caso
: prova de
.
Agora a multiplicação por
inverte desigualdades. Se
, então
para todo
implica
portanto
é cota superior de
. Seja
uma cota superior de
. Então
para todo
. Como
, divide-se por
invertendo o sinal:
Isso faz de
uma cota inferior de
, logo
e
. Assim
é a menor cota superior de
.
Resposta
a) Se
, então
b) Se
, então