Dado A \subset \mathbb{R} não vazio e \alpha \in \mathbb{R}, defina
\alpha \cdot A=\{\alpha \cdot r: r \in A\} .
Mostre que:
a) \sup (\alpha \cdot A)=\alpha \cdot \sup A e \inf (\alpha \cdot A)=\alpha \cdot \inf A, caso \alpha \geq 0.
b) \sup (\alpha \cdot A)=\alpha \cdot \inf A, caso \alpha<0.

Passo 1

O enunciado considera um conjunto não vazio A\subset\mathbb{R} e um escalar \alpha\in\mathbb{R}, e define
\alpha\cdot A=\{\alpha\cdot r : r\in A\}.
O objetivo é usar as propriedades de supremum, ínfimum e monotonicidade da multiplicação em \mathbb{R} (mais o axioma de completude) para mostrar:
a) se \alpha\ge0, então
\sup(\alpha\cdot A)=\alpha\cdot\sup A \quad\text{e}\quad \inf(\alpha\cdot A)=\alpha\cdot\inf A;
b) se \alpha<0, então
\sup(\alpha\cdot A)=\alpha\cdot\inf A.

Passo 2

Caso \alpha\ge0: prova de \displaystyle\sup(\alpha\cdot A)=\alpha\cdot\sup A.
Se M=\sup A, então para todo r\in A vale r\le M. Como \alpha\ge0, multiplica-se a desigualdade por \alpha sem inverter:
\alpha\,r \le \alpha\,M,
logo \alpha M é uma cota superior de \alpha\cdot A. Agora, seja U qualquer cota superior de \alpha\cdot A; isto é, para todo r\in A,
\alpha\,r \le U \quad\Longrightarrow\quad r \le \frac{U}{\alpha}\quad(\alpha>0).
Então \tfrac U\alpha é cota superior de A, o que implica \tfrac U\alpha\ge M e, portanto, U\ge\alpha M. Conclui-se que \alpha M é a menor cota superior de \alpha\cdot A.

Passo 3

Caso \alpha\ge0: prova de \displaystyle\inf(\alpha\cdot A)=\alpha\cdot\inf A.
Se m=\inf A, então para todo r\in A vale r\ge m. Multiplicando por \alpha\ge0 obtém-se
\alpha\,r \ge \alpha\,m,
logo \alpha m é cota inferior de \alpha\cdot A. Seja L qualquer cota inferior de \alpha\cdot A, isto é, \alpha\,r\ge L para todo r\in A. Então
r \ge \frac{L}{\alpha}
é cota inferior de A, logo \tfrac L\alpha\le m e, assim, L\le\alpha m. Conclui-se que \alpha m é o maior cota inferior de \alpha\cdot A.

Passo 4

Caso \alpha<0: prova de \displaystyle\sup(\alpha\cdot A)=\alpha\cdot\inf A.
Agora a multiplicação por \alpha<0 inverte desigualdades. Se m=\inf A, então r\ge m para todo r\in A implica
\alpha\,r \le \alpha\,m,
portanto \alpha m é cota superior de \alpha\cdot A. Seja U uma cota superior de \alpha\cdot A. Então \alpha\,r\le U para todo r\in A. Como \alpha<0, divide-se por \alpha invertendo o sinal:
r \ge \frac{U}{\alpha}.
Isso faz de \tfrac U\alpha uma cota inferior de A, logo \tfrac U\alpha \le m e U\ge \alpha\,m. Assim \alpha m é a menor cota superior de \alpha\cdot A.

Resposta

a) Se \alpha\ge0, então
\sup(\alpha\cdot A)=\alpha\cdot\sup A \quad\text{e}\quad \inf(\alpha\cdot A)=\alpha\cdot\inf A.
b) Se \alpha<0, então
\sup(\alpha\cdot A)=\alpha\cdot\inf A.

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