Enuncie e demonstre a desigualdade triangular para números reais.

Passo 1

O enunciado pede para enunciar e demonstrar a desigualdade triangular no conjunto dos números reais.
Conteúdo: valor absoluto e suas propriedades fundamentais.
Vamos usar a definição de módulo e o fato de que, para todo real z, vale
-|z|\le z\le |z|.

Passo 2

Partindo de x\le |x| e y\le |y|, somamos essas duas desigualdades para obter
x+y \le |x|+|y|.

Passo 3

De modo análogo, usando -x\le |x| e -y\le |y|, somamos para chegar a
-(x+y)\le |x|+|y| \quad\Longrightarrow\quad x+y \ge -(|x|+|y|).

Passo 4

Das duas desigualdades
-\,\bigl(|x|+|y|\bigr)\le x+y \le |x|+|y|
segue, pela definição de módulo, que
|\,x+y\,|\le |x|+|y|.

Resposta

\boxed{\forall\,x,y\in\mathbb{R}:\quad |x+y|\le |x|+|y|.}

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