Um n’umero real x satisfaz |x+1|<2. Mostre que
\left|(x+1)^{2}-(x+1)\right|<6

Passo 1

O enunciado diz que um número real x satisfaz
|x+1|<2.
Queremos mostrar que
\bigl|(x+1)^{2} - (x+1)\bigr| < 6.
O conteúdo principal aqui é manipular desigualdades com valor absoluto, usando a fatoração de polinômios, a propriedade
|ab| = |a|\cdot|b|
e a desigualdade triangular.

Passo 2

Repare que
(x+1)^{2} - (x+1) = (x+1)\bigl((x+1)-1\bigr) = (x+1)\,x.
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\bigl|(x+1)^{2} - (x+1)\bigr| = |x+1|\;\bigl|x\bigr|.

Passo 3

Para estimar \bigl|x\bigr|, note que
x = (x+1) - 1
e, pela desigualdade triangular,
\bigl|x\bigr| = \bigl|(x+1)-1\bigr| \le |x+1| + |1| = |x+1| + 1.
Como |x+1|<2, segue que
\bigl|x\bigr| < 2 + 1 = 3.

Passo 4

Juntando as estimativas de |x+1| e de \bigl|x\bigr|, obtemos
\bigl|(x+1)^{2} - (x+1)\bigr| = |x+1|\;\bigl|x\bigr| < 2 \times 3 = 6.
Isso conclui a demonstração.

Resposta

\bigl|(x+1)^{2} - (x+1)\bigr| < 6.

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