Dado o tensor tensão:
|rrr60 & 40 & 0 40 & -30 & 0 0 & 0 & 30|
(MPa)
Determinar a tensão normal e tangencial atuantes em um plano cujos cossenos diretores da normal são:
1=0,55
m=0,55
n=0,64

Passo 1

Tranquilo, então o enunciado pede o seguinte: a gente tem um tensor de tensões
sigma = 60 & 40 & 0 40 & -30 & 0 0 & 0 & 30 MPa
e uma superfície cujo vetor normal tem cossenos diretores
ell=0,55, m=0,55, n=0,64
O que precisamos é achar a tensão normal e a tangencial (cisalhante) agindo nessa face.
Conteúdo de matéria: transformação de tensões em um plano arbitrário. Fórmulas principais:
  1. vetor tensão de face ,
  2. tensão normal ,
  3. tensão tangencial .

Passo 2

Antes de tudo montamos o vetor normal unitário
n = 0,550,550,64
A ideia é usar , ou seja multiplicar a matriz de tensões pelo vetor normal.

Passo 3

Calcando componente a componente do vetor tensão de face tx = 60cdot0,55 + 40cdot0,55 + 0cdot0,64 = 33 + 22 + 0 = 55 MPa, :
ty = 40cdot0,55 + (-30)cdot0,55 + 0cdot0,64 = 22 -16,5 = 5,5 MPa,
tz = 0cdot0,55 + 0cdot0,55 + 30cdot0,64 = 19,2 MPa
t = 555,519,2 MPa
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Passo 4

Agora a tensão normal é o produto escalar
sigman = ncdott = 0,55cdot55 + 0,55cdot5,5 + 0,64cdot19,2
Calculando:
0,55times55 = 30,25, 0,55times5,5 = 3,025, 0,64times19,2 = 12,288
Somando dá
sigman approx 30,25 + 3,025 +12,288 = 45,563 MPa

Passo 5

Por fim, a tensão tangencial é a parte de 0,550,550,64 perpendicular a 25,0625,0629,16. Primeiro achamos o vetor
tau = t - sigman,n = 555,519,2 -25,0625,0629,16 =29,94-19,56-9,96 .
Então o vetor cisalhante é
tau = |tau| =raiz29,94^2 + (-19,56)^2 +(-9,96)^2 approx 37,12 MPa
A magnitude é

Resposta

Tensão normal MPa
Tensão tangencial MPa

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