Em um ponto de uma peça, as tensões conhecidas são:
Determinar:
As t.n.p. e a maior tensão tangencial no ponto.
As t.n.p. e a maior tensão tangencial no ponto.
Passo 1
Beleza, o exercício diz que num ponto de uma peça temos as componentes de tensões normais e de cisalhamento:
Ele quer duas coisas:
- as tensões principais (que são os autovalores da matriz de tensões),
- a maior tensão de cisalhamento (que é
).
O conteúdo aqui é Mecânica dos Sólidos / Resistência dos Materiais:
- a matriz de tensões 3×3,
- os invariantes
, - a equação característica
, - e o fato de que
.
Para resolver, vamos: montar a matriz, calcular
, escrever o polinômio cúbico, achar as raízes e depois a tensão de cisalhamento máxima.
Passo 2
Primeiro, escrevemos a matriz de tensões simétrica:
As tensões principais
det(boldsymbolsigma - lambda I) ;=; 0, são as raízes de
isto é do polinômio
onde
são os invariantes.
Passo 3
Calculando os invariantes:
-
I2 = sigmaxsigmay + sigmaysigmaz + sigmazsigmax - (tauxy^2 + tauyz^2 + tauzx^2)
Substituindo:
(Dá para calcular expandindo a matriz.)
Logo o polinômio é
Passo 4
Resolvendo esse cúbico (por métodos numéricos ou aproximação), achamos as três raízes reais:
Aqui a ideia: usamos os invariantes para chegar num quadrático auxiliar e tiramos as raízes.
Passo 5
A maior tensão de cisalhamento num ponto tridimensional é
Resposta
Tensões principais:
Maior tensão de cisalhamento:
Maior tensão de cisalhamento: