Em um ponto de uma peça, as tensões conhecidas são:
lll sigmax=90 & sigmay=60 & sigmaz=30 taux y=30 & tauy z=30 & tauz x=60
Determinar:
As t.n.p. e a maior tensão tangencial no ponto.

Passo 1

Beleza, o exercício diz que num ponto de uma peça temos as componentes de tensões normais e de cisalhamento:
sigmax = 90, sigmay = 60, sigmaz = 30,
tauxy=30, tauyz=30, tauzx=60
Ele quer duas coisas:
  1. as tensões principais (que são os autovalores da matriz de tensões),
  2. a maior tensão de cisalhamento (que é ).
O conteúdo aqui é Mecânica dos Sólidos / Resistência dos Materiais:
  • a matriz de tensões 3×3,
  • os invariantes ,
  • a equação característica ,
  • e o fato de que .
Para resolver, vamos: montar a matriz, calcular , escrever o polinômio cúbico, achar as raízes e depois a tensão de cisalhamento máxima.

Passo 2

Primeiro, escrevemos a matriz de tensões simétrica:
boldsymbolsigma = 90 & 30 & 60 30 & 60 & 30 60 & 30 & 30
As tensões principais det(boldsymbolsigma - lambda I) ;=; 0, são as raízes de
lambda^3 - I1,lambda^2 + I2,lambda - I3 = 0,
isto é do polinômio
onde são os invariantes.

Passo 3

Calculando os invariantes:
  1. I2 = sigmaxsigmay + sigmaysigmaz + sigmazsigmax - (tauxy^2 + tauyz^2 + tauzx^2)
I2 = (90cdot60 + 60cdot30 + 30cdot90) - (30^2 + 30^2 + 60^2) = (5400+1800+2700) - (900+900+3600) = 9900 - 5400 = 4500
Substituindo:
I3 = det(boldsymbolsigma) = -54000
lambda^3 - 180,lambda^2 + 4500,lambda + 54000 = 0
(Dá para calcular expandindo a matriz.)
Logo o polinômio é

Passo 4

Resolvendo esse cúbico (por métodos numéricos ou aproximação), achamos as três raízes reais:
sigma1 approx 147.0, sigma2 approx 41.5, sigma3 approx -8.5 (todas em MPa, por exemplo)
Aqui a ideia: usamos os invariantes para chegar num quadrático auxiliar e tiramos as raízes.

Passo 5

A maior tensão de cisalhamento num ponto tridimensional é
taumax ;=; sigmamax - sigmamin2 = sigma1 - sigma32 = 147.0 - (-8.5)2 approx 77.7

Resposta

Tensões principais:

Maior tensão de cisalhamento:

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