Uma partícula carregada entra uma região e sente uma força cuja ação pode ser descrita por F(x)=F0((ax)^2-3(ax)^3+2(ax)^4). Onde F0 e a são constantes positivas e x é a distância entre a partícula e a fonte geradora da força. Considerando que nenhuma outra força atua no sistema,
Calcule a energia potencial U(x) sentida pela partícula. Assuma que a energia potencial no infinito é nula.

Passo 1

Então, o problema diz que uma partícula sente uma força conservativa dada por
F(x)=F0l(l(axr)^2-3l(axr)^3+2l(axr)^4r)
com U(x) - U(infty) = -integralinfty^,x F(x'),dx', e a distância. Queremos achar a energia potencial , sabendo que .
Conteúdo: energia potencial de forças conservativas, integral de potências.
Precisamos usar a relação

Passo 2

Força conservativa significa que a variação de energia potencial entre dois pontos é o negativo do trabalho da força entre eles. Como U(x) = -integralinfty^x F(x'),dx', basta fazer
Não podemos pular etapas, então vamos decompor o integrando em cada potência de .

Passo 3

Escrevendo a integral termo a termo:
U(x) = -F0integralinfty^xl[(a/x')^2 - 3(a/x')^3 + 2(a/x')^4r],dx' = -F0l[I2 - 3,I3 + 2,I4r]
onde definimos
In = integralinfty^x (a/x')^n,dx',

Passo 4

Vamos calcular cada I2 = integralinfty^x a^2,x'^-2,dx' = a^2l[-,x'^-1r]infty^x = a^2l(-1x - 0r) = -a^2x, usando a regra I3 = integralinfty^x a^3,x'^-3,dx' = a^3l[-tfrac12x'^-2r]infty^x = a^3l(-12x^2 - 0r) = -a^32,x^2, para I4 = integralinfty^x a^4,x'^-4,dx' = a^4l[-tfrac13x'^-3r]infty^x = a^4l(-13x^3 - 0r) = -a^43,x^3, .
  1. Para :
  1. Para :
  1. Para :

Passo 5

Substituindo em U(x) = -F0l[I2 - 3,I3 + 2,I4r] = -F0l[l(-tfraca^2xr) -3l(-tfraca^32x^2r) +2l(-tfraca^43x^3r)r] :
U(x) = F0l[a^2x - 3a^32x^2 + 2a^43x^3r]
Limpa isso:

Resposta

boxedU(x)=F0l(a^2x-3a^32x^2+2a^43x^3r),

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