Em um ponto de uma peça, as tensões conhecidas são:
lll sigmax=90 & sigmay=60 & sigmaz=30 taux y=30 & tauy z=30 & tauz x=60
Determinar:
A orientação do plano onde atua a maior tensão normal principal.

Passo 1

Beleza, o que a questão tá pedindo?
Temos num ponto de uma peça um estado de tensão em 3D:
sigmax = 90, sigmay = 60, sigmaz = 30, tauxy=30,;tauyz=30,;tauzx=60
Queremos achar a orientação do plano em que atua a maior tensão normal principal.
Conteúdo: tensor de tensões, tensões principais (autovalores) e direções principais (autovetores). Vamos precisar montar a matriz 3×3 do tensor de tensões, achar seus autovalores (λ’s) resolvendo , e, para o maior λ, achar o autovetor associado.

Passo 2

Montamos a matriz simétrica do tensor de tensões:
sigma = 90 & 30 & 60 30 & 60 & 30 60 & 30 & 30
Teoria rápida: tensões principais são as raízes λ do polinômio característico
. Cada λ satisfaz , onde é o vetor normal ao plano principal.

Passo 3

Calculando lambda^3 -180,lambda^2 +4500,lambda +54000 = 0 a gente chega ao cúbico
lambda1 approx 146,6, lambda2 approx 42,8, lambda3 approx -9,35
Resolvendo esse polinômio (por inspeção aproximada ou fórmula de Cardano) obtemos três raízes:
A maior tensão principal é, portanto, .

Passo 4

Agora a gente encontra o autovetor (sigma - lambda1 I), n = 0 associado a (90-146,6)nx + 30,ny + 60,nz = 0, 30,nx + (60-146,6)ny +30,nz = 0, 60,nx +30,ny + (30-146,6)nz = 0 resolvendo
(nx,ny,nz)propto (1,;0,5738,;0,6560)
Isso dá o sistema
nxapprox0,7535, nyapprox0,4321, nzapprox0,4942
Resolvendo (por eliminação) achamos a direção proporcional a
Normalizando para ter cosenos de direção:

Resposta

A orientação do plano de maior tensão principal é dada pelo vetor normal
boxed(nx,ny,nz)approx(0,7535,;0,4321,;0,4942),
ou, em ângulos medidos dos eixos alpha=arccos(0,7535)approx41^circ, betaapprox64^circ, gammaapprox60^circ :

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