Dado um triângulo A B C, sejam h_{A}, h_{B} e h_{C} as alturas do triângulo, R o raio do círculo circunscrito ao triângulo e r o raio do círculo inscrito ao triângulo. Mostre que
\frac{1}{h_{A}}+\frac{1}{h_{B}}+\frac{1}{h_{C}}=\frac{1}{r}

Passo 1

O enunciado nos dá um triângulo ABC com alturas h_{A},h_{B},h_{C}, raio do círculo circunscrito R e raio do círculo inscrito r. O objetivo é mostrar que
\frac{1}{h_{A}}+\frac{1}{h_{B}}+\frac{1}{h_{C}}=\frac{1}{r}.
Para isso vamos usar duas fórmulas de área de triângulo: em função de cada altura e em função do raio inscrito.

Passo 2

A área \Delta do triângulo também pode ser escrita como
\Delta = \tfrac{1}{2}\,a\,h_{A},
onde a = BC. Dessa forma
h_{A} = \frac{2\,\Delta}{a} \quad\Longrightarrow\quad \frac{1}{h_{A}} = \frac{a}{2\,\Delta}.
Analogamente,
\frac{1}{h_{B}} = \frac{b}{2\,\Delta}, \qquad \frac{1}{h_{C}} = \frac{c}{2\,\Delta},
onde b = CA e c = AB.

Passo 3

Somando as três expressões, obtemos
\frac{1}{h_{A}}+\frac{1}{h_{B}}+\frac{1}{h_{C}} = \frac{a+b+c}{2\,\Delta}.

Passo 4

Definindo o semiperímetro s=\tfrac{a+b+c}{2}, fica
\frac{a+b+c}{2\,\Delta} = \frac{2\,s}{2\,\Delta} = \frac{s}{\Delta}.

Passo 5

Por outro lado, a área do triângulo também satisfaz
\Delta = r\,s,
pois o círculo inscrito tem raio r. Logo
\frac{s}{\Delta} = \frac{s}{r\,s} = \frac{1}{r}.
Concluímos que
\frac{1}{h_{A}}+\frac{1}{h_{B}}+\frac{1}{h_{C}} = \frac{1}{r}.

Resposta

\frac{1}{h_{A}}+\frac{1}{h_{B}}+\frac{1}{h_{C}}=\frac{1}{r}.

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