Dado um triângulo
, sejam
e
as alturas do triângulo,
o raio do círculo circunscrito ao triângulo e
o raio do círculo inscrito ao triângulo. Mostre que
Passo 1
O enunciado considera um triângulo
com altura
relativa ao lado
, raio do circuncírculo
e raio do círculo inscrito
. Queremos mostrar a relação
Para isso vamos usar a definição de altura em triângulo e o Teorema dos Senos.
Passo 2
Na definição de altura, a reta traçada de
até
forma com o lado
um triângulo retângulo em
. Nesse triângulo retângulo, a altura
é o cateto oposto ao ângulo
. Logo, por definição de seno, temos
Passo 3
Pelo Teorema dos Senos, em qualquer triângulo vale
Da expressão para
obtemos
Passo 4
Substituindo
na relação
, vem
que é exatamente o que queríamos demonstrar.