7 - Dado um tubo de parede fina, usado para armazenar gás a uma pressão interna de 12 \mathrm{Kgf} / \mathrm{cm}^{2}, com diâmetro médio de 0,8 \mathrm{~m} e cuja espessura do mesmo é de 0,6 \mathrm{~cm}. Pede-se determinar as tensões normal e tangencial atuantes no cordão de solda indicado.
OBS: A espessura do cordão de solda é a mesma espessura da parede do tubo.

Passo 1

O enunciado pede determinar as tensões normal e tangencial atuantes no cordão de solda indicado. Dados fornecidos:
  • Pressão interna: \,p=12\\ \text{Kgf/cm}^2. (dado numérico do enunciado)
  • Diâmetro médio do tubo: \,D=0,8\\ \text{m}. (dado do enunciado / figura)
  • Espessura da parede (e do cordão): \,t=0,6\\ \text{cm}=0,006\\ \text{m}. (dado do enunciado)
  • Ângulo do cordão de solda em relação ao eixo do tubo: \,\alpha=30^\circ. (dado extraído da figura)
O que se pede:
  • A tensão normal (componente de tração ao longo da direção do cordão).
  • A tensão tangencial (cisalhamento) atuante sobre a seção do cordão.

Passo 2

Converter a pressão para unidades do SI (Pascal), para poder usar nas fórmulas padrão.
  • 1 \,\text{kgf}=9{,}80665\\ \text{N}.
  • 1 \,\text{cm}^2=10^{-4}\\ \text{m}^2.
    Logo
1\\ \text{Kgf/cm}^2 = \frac{9{,}80665}{10^{-4}}\\ \text{Pa}=98\,066{,}5\\ \text{Pa}.
Portanto
p=12\cdot98\,066{,}5\\ \text{Pa}=1\,176\,798\\ \text{Pa}\approx1{,}1768\\ \text{MPa}.

Passo 3

Explicar as tensões em um cilindro fino devido à pressão interna (fórmulas e origem).
  • Para um tubo fino (espessura pequena frente ao raio), as tensões médias na parede são (força equilibrando a pressão):
    • Tensão circunferencial (hoop ou tangencial ao redor do cilindro): \,\sigma_\theta=\dfrac{pD}{2t}.
      • Raciocínio rápido: cortar o cilindro longitudinalmente; a pressão atua sobre uma área projetada pD\ell e é resistida por duas faixas de parede de área 2t\ell, o que dá \sigma_\theta= pD/(2t).
    • Tensão longitudinal (axial): \,\sigma_x=\dfrac{pD}{4t}.
      • Raciocínio rápido: cortar o cilindro transversalmente; a pressão age sobre a seção p\pi R^2 e é resistida pela circunferência da parede (2\pi R t) levando a \sigma_x=pR/(2t)=pD/(4t).
  • Notação usada:
    • \,\sigma_x = tensão no sentido axial do tubo (longitudinal).
    • \,\sigma_\theta = tensão circunferencial (hoop).
    • \,t = espessura da parede.
    • \,D = diâmetro médio.

Passo 4

Calcular \sigma_\theta e \sigma_x com os dados:
\sigma_\theta=\frac{pD}{2t},\qquad \sigma_x=\frac{pD}{4t}.
Substituindo \,p=1{,}176798\times10^{6}\\ \text{Pa}, \,D=0{,}8\\ \text{m}, \,t=0{,}006\\ \text{m}:
\sigma_\theta=\frac{1{,}176\,798\times10^{6}\cdot0{,}8}{2\cdot0{,}006} =\frac{941\,438{,}4}{0{,}012}=78\,453\,200\\ \text{Pa}=78{,}4532\\ \text{MPa}.
\sigma_x=\frac{\sigma_\theta}{2}=39{,}2266\\ \text{MPa}.
Também é útil em \text{Kgf/cm}^2 (para comparar com a pressão dada):
1\\ \text{Kgf/cm}^2=98\,066{,}5\\ \text{Pa}\quad\Rightarrow\quad \sigma_\theta\approx\frac{78{,}453{,}200}{98{,}066{,}5}\approx800{,}4\\ \text{Kgf/cm}^2,
\sigma_x\approx400{,}2\\ \text{Kgf/cm}^2.

Passo 5

Determinar as componentes na direção do cordão de solda (transformação de tensões no plano).
  • Sistema de referência: x = eixo axial, y = direção circunferencial (hoop). Temos estado plano de tensões com
    \,\sigma_x (axial), \,\sigma_y=\sigma_\theta (circunferencial) e \tau_{xy}=0.
  • Queremos a tensão normal na direção do cordão (compressão/tração ao longo da direção do cordão) e a tensão de cisalhamento nessa seção.
  • Seja \alpha o ângulo entre a direção do cordão e o eixo x. Aqui \,\alpha=30^\circ.
  • A componente normal (tensão ao longo da direção unitária do cordão) é dada por
\sigma_n=\sigma_x\cos^2\alpha+\sigma_y\sin^2\alpha,
e a componente de cisalhamento (módulo) na seção normal ao cordão é
\tau=\left|\left(\sigma_x-\sigma_y\right)\sin\alpha\cos\alpha\right|.
  • Essas fórmulas vêm de projetar o tensor de tensões na direção do vetor unitário \mathbf{n}=(\cos\alpha,\sin\alpha): \sigma_n=\mathbf{n}^T\boldsymbol{\sigma}\,\mathbf{n} e \tau é a parte tangencial do vetor de tração.

Passo 6

Calcular \sigma_n e \tau numericamente. Usar \cos30^\circ=\tfrac{\sqrt{3}}{2}, \sin30^\circ=\tfrac{1}{2}, portanto \cos^2 30^\circ=0{,}75, \sin^2 30^\circ=0{,}25, \sin30^\circ\cos30^\circ=0{,}4330127.
\sigma_n=\sigma_x\cos^2\!30^\circ+\sigma_y\sin^2\!30^\circ =39{,}2266\cdot0{,}75+78{,}4532\cdot0{,}25.
Calcule passo a passo:
39{,}2266\cdot0{,}75=29{,}41995\\ \text{MPa}, \qquad 78{,}4532\cdot0{,}25=19{,}61330\\ \text{MPa},
\sigma_n=29{,}41995+19{,}61330=49{,}03325\\ \text{MPa}\approx49{,}03\\ \text{MPa}.
Agora o cisalhamento:
\tau=\left|(\sigma_x-\sigma_y)\sin30^\circ\cos30^\circ\right| =\left|(39{,}2266-78{,}4532)\cdot0{,}4330127\right|.
39{,}2266-78{,}4532=-39{,}2266
\tau=|-39{,}2266\cdot0{,}4330127|=16{,}986\\ \text{MPa}\approx16{,}99\\ \text{MPa}.
Converter para \text{Kgf/cm}^2 (opcional, se quiser comparar com a pressão original):
\sigma_n\approx\frac{49{,}033{,}250}{98{,}066{,}5}\approx500{,}3\\ \text{Kgf/cm}^2, \qquad \tau\approx\frac{16{,}986{,}000}{98{,}066{,}5}\approx173{,}2\\ \text{Kgf/cm}^2.

Passo 7

Interpretação curta e checagem:
  • A tensão normal no cordão ( \approx49{,}0\\ \text{MPa}) é um resultado da combinação das tensões axial e circunferencial projetadas na direção do cordão de 30^\circ.
  • O cisalhamento ( \approx17{,}0\\ \text{MPa}) aparece porque temos um estado biaxial ( \sigma_x\neq\sigma_y) e a orientação oblíqua gera esforço cortante na seção do cordão.
  • Sinal: o cálculo deu \sigma_x-\sigma_y<0, o que indica sentido do cisalhamento; aqui reportamos o módulo.

Resposta

\sigma_{\text{normal}}=49{,}03\\ \text{MPa}\\ (\approx500{,}3\\ \text{Kgf/cm}^2)
\tau_{\text{tangencial}}=16{,}99\\ \text{MPa}\\ (\approx173{,}2\\ \text{Kgf/cm}^2)

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