5 - Um tubo de cobre ( \mathrm{E}=1,2 \times 10^{6} \mathrm{Kgf} / \mathrm{cm}^{2} ), com raio externo de 30 cm , é revestido coaxialmente, por um tubo de aço ( \mathrm{E}=2,1 \times 10^{6} \mathrm{Kgf} / \mathrm{cm}^{2} ). Após a operação de encaixe do tubo de cobre e o tubo de aço, aparece entre os dois tubos uma pressão de contato igual a 10 \mathrm{Kgf} / \mathrm{cm}^{2}. Pergunta-se: qual é o valor do raio interno do tubo de aço?
DADOS: Espessura do tubo de cobre =0,8 \mathrm{~cm}
Espessura do tubo de aço =0,6 \mathrm{~cm}

Passo 1

Vamos deixar clarinho o que o enunciado pede e o que nos é dado (peguei estes dados do enunciado e da figura).
  • Pergunta: qual é o valor do raio interno do tubo de aço (antes do encaixe), dado que, após o encaixe, surge entre os dois tubos uma pressão de contato igual a \,10\\ \mathrm{Kgf/cm^{2}}\,?
  • Dados (peguei estes números do enunciado / figura):
    • Módulo de Young do cobre: E_{\text{Cu}}=1{,}2\times10^{6}\\ \mathrm{Kgf/cm^{2}}.
    • Módulo de Young do aço: E_{\text{Aço}}=2{,}1\times10^{6}\\ \mathrm{Kgf/cm^{2}}ç.
    • Raio externo do tubo de cobre: r_{\text{Cu,ext}}=30{,}0\\ \mathrm{cm}.
    • Espessura do tubo de cobre: t_{\text{Cu}}=0{,}8\\ \mathrm{cm} (logo r_{\text{Cu,int}}=30{,}0-0{,}8=29{,}2\\ \mathrm{cm}).
    • Espessura do tubo de aço: t_{\text{Aço}}=0{,}6\\ \mathrm{cm}ç (logo se chamarmos r_{\text{Aço,int}}=xç então r_{\text{Aço,medio}}=x+0{,}3ç e r_{\text{Aço,ext}}=x+0{,}6ç).
    • Pressão de contato após o encaixe: p=10\\ \mathrm{Kgf/cm^{2}}.
Observação importante (não faço suposições escondidas): o enunciado não dá coeficientes de Poisson nem pede consideração de esforços axiais, então vou usar a aproximação de cascas finas (thin-wall) e considerar deformação circumferencial dominando (caso usual quando a espessura é pequena comparada ao raio), o que elimina a necessidade de \nu explícito. Justifico essa escolha no passo seguinte.

Passo 2

Qual método usar e por quê (explicação didática e intuitiva).
  • Por que usar aproximação de “casca fina”? Porque as espessuras são muito menores que os raios: t_{\text{Cu}}=0{,}8\\ \mathrm{cm} versus r\sim30\\ \mathrm{cm}, e t_{\text{Aço}}=0{,}6\\ \mathrm{cm}ç também muito pequeno. Nessa situação a tensão circunferencial (hoop) pode ser aproximada por
    \sigma_{\theta}\approx \frac{p\,r_{\text{m}}}{t},
    onde r_{\text{m}} é o raio médio da casca e t a espessura. Essa é a fórmula básica para casca fina sujeita à pressão interna (ou externa, com sinal trocado), e é ensinada nos cursos de resistência dos materiais quando t\ll r.
  • Como obtenho o deslocamento radial a partir da pressão? Primeiro obtenho a tensão circunferencial \sigma_{\theta}. Se a barra for livre axialmente (sem tensão axial imposta), a deformação circunferencial é
    \varepsilon_{\theta}=\frac{\sigma_{\theta}}{E},
    pois desprezamos a contribuição do esforço axial (ou assumimos \sigma_{z}\approx 0). O deslocamento radial (variação do raio) é aproximadamente \Delta r=\varepsilon_{\theta}\,r_{\text{m}}. Unindo tudo:
    \Delta r=\varepsilon_{\theta}\,r_{\text{m}}=\frac{\sigma_{\theta}}{E}\,r_{\text{m}} =\frac{1}{E}\left(\frac{p\,r_{\text{m}}}{t}\right)r_{\text{m}} =\frac{p\,r_{\text{m}}^{2}}{t\,E}.
    Portanto, para casca fina submetida a pressão p (interna ou externa), o deslocamento radial (em módulo) pode ser aproximado por
    \boxed{\Delta r=\dfrac{p\,r_{\text{m}}^{2}}{t\,E}}.
  • Interpretação física rápida: sob pressão interna a casca tende a “inchar” (aumenta raio); sob pressão externa a casca tende a “apertar” (reduz raio). No nosso problema, a superfície externa do cobre sofre pressão externa p (comprime o cobre), e a superfície interna do aço sofre pressão interna p (expande o aço). No encaixe a condição de contato é que, depois de deformados, os dois raios coincidem.

Passo 3

Calcular o deslocamento radial do tubo de cobre (valor numérico detalhado).
  • Primeiro calculemos o raio médio do tubo de cobre: r_{\text{Cu,ext}}=30{,}0\\ \mathrm{cm},\qquad r_{\text{Cu,int}}=30{,}0-0{,}8=29{,}2\\ \mathrm{cm}.
r_{\text{Cu,medio}}=\frac{r_{\text{Cu,ext}}+r_{\text{Cu,int}}}{2} =\frac{30{,}0+29{,}2}{2}=29{,}6\\ \mathrm{cm}.
  • Agora aplicamos a fórmula do deslocamento (para pressão externa p, o módulo do deslocamento é o mesmo que para pressão interna; vamos usar valores absolutos): \Delta r_{\text{Cu}}=\frac{p\,r_{\text{Cu,medio}}^{2}}{t_{\text{Cu}}\,E_{\text{Cu}}}.Substituindo números: \Delta r_{\text{Cu}}=\frac{10\cdot(29{,}6)^{2}}{0{,}8\cdot 1{,}2\times10^{6}} =\frac{10\cdot 876{,}16}{960{,}000} =\frac{8{,}761{,}6}{960{,}000}.Agora a divisão: \Delta r_{\text{Cu}}=0{,}009126666\\ \mathrm{cm}\approx 9{,}13\times10^{-3}\\ \mathrm{cm}=0{,}0913\\ \mathrm{mm}.
Portanto o cobre, sob a pressão de contato, reduz o seu raio externo em aproximadamente \,0{,}00913\\ \mathrm{cm}.

Passo 4

Expressar o deslocamento radial do tubo de aço em função do raio interno desconhecido x.
  • Seja x o raio interno inicial do tubo de aço (o que o enunciado pede).
  • O raio médio do aço é r_{\text{Aço,medio}}=x+\frac{t_{\text{Aço}}}{2}=x+0{,}3\\ \mathrm{cm}.çç
  • A fórmula do deslocamento (agora expansão devido à pressão interna p) é \Delta r_{\text{Aço}}=\frac{p\,r_{\text{Aço,medio}}^{2}}{t_{\text{Aço}}\,E_{\text{Aço}}} =\frac{10\cdot (x+0{,}3)^{2}}{0{,}6\cdot 2{,}1\times10^{6}}.ççççSimplificando o denominador numérico: 0{,}6\cdot 2{,}1\times10^{6}=1{,}26\times10^{6}.Logo \Delta r_{\text{Aço}}=\frac{10\,(x+0{,}3)^{2}}{1{,}26\times10^{6}}.ç

Passo 5

Relacionar interferência inicial com as deformações e montar a equação para x.
  • Definição de interferência: antes do encaixe o tubo de cobre tem raio externo 30{,}0\\ \mathrm{cm} e o tubo de aço tem raio interno x. Após o encaixe, o cobre comprime e o aço expande; em contato final os raios coincidem. Assim a diferença inicial (interferência) é igual à soma das deformações: \text{interferência} = r_{\text{Cu,ext}} - x = \Delta r_{\text{Cu}} + \Delta r_{\text{Aço}}.êç
  • Substituindo \Delta r_{\text{Cu}} e \Delta r_{\text{Aço}}ç: 30{,}0 - x = 0{,}009126666\\\ +\\ \frac{10\,(x+0{,}3)^{2}}{1{,}26\times10^{6}}.
  • Rearranjando para ficar explícito em x: x + \frac{10\,(x+0{,}3)^{2}}{1{,}26\times10^{6}} = 30{,}0 - 0{,}009126666.Ou numericamente x + \frac{(x+0{,}3)^{2}}{126{,}000} = 29{,}990873333.

Passo 6

Resolver numericamente a equação para x (mostro iterações simples e convergência).
  • A equação a resolver (forma conveniente):
    x = 29{,}990873333 - \frac{(x+0{,}3)^{2}}{126{,}000}.
    Vamos iterar começando com x_{0}=29{,}99 (palpite próximo de 30).
    1. x_{0}=29{,}990. Calcule x_{1}:
      x_{1}=29{,}990873333-\frac{(29{,}990+0{,}3)^{2}}{126{,}000} =29{,}990873333-\frac{30{,}29^{2}}{126{,}000}.
      30{,}29^{2}=917{,}4841 (aprox), dividindo por 126{,}000 \approx 0{,}00727991. Assim
      x_{1}\approx 29{,}990873333-0{,}00727991=29{,}983593423.
    2. Usando x_{1}=29{,}983593423, calculamos x_{2}:
      x_{2}=29{,}990873333-\frac{(29{,}983593423+0{,}3)^{2}}{126{,}000}.
      Avaliando (30{,}283593423)^{2}\approx 917{,}096, divisão por 126{,}000 \approx 0{,}00727465. Assim
      x_{2}\approx 29{,}990873333-0{,}00727465=29{,}983598683.
    3. Repetindo mais uma vez a mudança já é ínfima; a sequência converge rapidamente para
      x\approx 29{,}983599\\ \mathrm{cm}.
  • Verificação rápida: com x=29{,}983599,
    \Delta r_{\text{Aço}}=\frac{10\,(29{,}983599+0{,}3)^{2}}{1{,}26\times10^{6}} \approx 0{,}007274667\\ \mathrm{cm},ç
    soma com \Delta r_{\text{Cu}}=0{,}009126667\\ \mathrm{cm} 0{,}016401334\\ \mathrm{cm}, e 30{,}0- x=30{,}0-29{,}983599=0{,}016401\\ \mathrm{cm}. Compatível dentro das aproximações numéricas.

Passo 7

Interpretação final e valor prático
  • O raio interno do tubo de aço antes do encaixe é ligeiramente menor que 30{,}0\\ \mathrm{cm}; numericamente encontramos x=r_{\text{Aço,int}}\approx 29{,}983599\\ \mathrm{cm},çou seja uma folga negativa (interferência) inicial de cerca de 0{,}0164\\ \mathrm{cm}=0{,}164\\ \mathrm{mm}. Isso quer dizer que o aço tinha, inicialmente, um diâmetro interno cerca de 0{,}328\\ \mathrm{mm} menor que o diâmetro externo do cobre, gerando a pressão de contato de 10\\ \mathrm{Kgf/cm^{2}} após o encaixe.

Resposta

29{,}983599\\ \mathrm{cm}

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