5 - Um tubo de cobre (
), com raio externo de 30 cm , é revestido coaxialmente, por um tubo de aço (
). Após a operação de encaixe do tubo de cobre e o tubo de aço, aparece entre os dois tubos uma pressão de contato igual a
. Pergunta-se: qual é o valor do raio interno do tubo de aço?
DADOS: Espessura do tubo de cobre
Espessura do tubo de aço
DADOS: Espessura do tubo de cobre
Espessura do tubo de aço
Passo 1
Vamos deixar clarinho o que o enunciado pede e o que nos é dado (peguei estes dados do enunciado e da figura).
- Pergunta: qual é o valor do raio interno do tubo de aço (antes do encaixe), dado que, após o encaixe, surge entre os dois tubos uma pressão de contato igual a
? - Dados (peguei estes números do enunciado / figura):
- Módulo de Young do cobre:
. - Módulo de Young do aço:
. - Raio externo do tubo de cobre:
. - Espessura do tubo de cobre:
(logo ). - Espessura do tubo de aço:
(logo se chamarmos então e ). - Pressão de contato após o encaixe:
.
- Módulo de Young do cobre:
Observação importante (não faço suposições escondidas): o enunciado não dá coeficientes de Poisson nem pede consideração de esforços axiais, então vou usar a aproximação de cascas finas (thin-wall) e considerar deformação circumferencial dominando (caso usual quando a espessura é pequena comparada ao raio), o que elimina a necessidade de
explícito. Justifico essa escolha no passo seguinte.
Passo 2
Qual método usar e por quê (explicação didática e intuitiva).
-
Por que usar aproximação de “casca fina”? Porque as espessuras são muito menores que os raios:
versus , e também muito pequeno. Nessa situação a tensão circunferencial (hoop) pode ser aproximada por ondeé o raio médio da casca e a espessura. Essa é a fórmula básica para casca fina sujeita à pressão interna (ou externa, com sinal trocado), e é ensinada nos cursos de resistência dos materiais quando . -
Como obtenho o deslocamento radial a partir da pressão? Primeiro obtenho a tensão circunferencial
. Se a barra for livre axialmente (sem tensão axial imposta), a deformação circunferencial é pois desprezamos a contribuição do esforço axial (ou assumimos). O deslocamento radial (variação do raio) é aproximadamente . Unindo tudo: Portanto, para casca fina submetida a pressão(interna ou externa), o deslocamento radial (em módulo) pode ser aproximado por -
Interpretação física rápida: sob pressão interna a casca tende a “inchar” (aumenta raio); sob pressão externa a casca tende a “apertar” (reduz raio). No nosso problema, a superfície externa do cobre sofre pressão externa
(comprime o cobre), e a superfície interna do aço sofre pressão interna (expande o aço). No encaixe a condição de contato é que, depois de deformados, os dois raios coincidem.
Passo 3
Calcular o deslocamento radial do tubo de cobre (valor numérico detalhado).
- Primeiro calculemos o raio médio do tubo de cobre:
- Agora aplicamos a fórmula do deslocamento (para pressão externa
, o módulo do deslocamento é o mesmo que para pressão interna; vamos usar valores absolutos): Substituindo números: Agora a divisão:
Portanto o cobre, sob a pressão de contato, reduz o seu raio externo em aproximadamente
.
Passo 4
Expressar o deslocamento radial do tubo de aço em função do raio interno desconhecido
.
- Seja
o raio interno inicial do tubo de aço (o que o enunciado pede). - O raio médio do aço é
- A fórmula do deslocamento (agora expansão devido à pressão interna
) é Simplificando o denominador numérico: Logo
Passo 5
Relacionar interferência inicial com as deformações e montar a equação para
.
- Definição de interferência: antes do encaixe o tubo de cobre tem raio externo
e o tubo de aço tem raio interno . Após o encaixe, o cobre comprime e o aço expande; em contato final os raios coincidem. Assim a diferença inicial (interferência) é igual à soma das deformações: - Substituindo
e : - Rearranjando para ficar explícito em
: Ou numericamente
Passo 6
Resolver numericamente a equação para
(mostro iterações simples e convergência).
-
A equação a resolver (forma conveniente):Vamos iterar começando com
(palpite próximo de ). -
. Calcule : (aprox), dividindo por dá . Assim -
Usando
, calculamos : Avaliando, divisão por dá . Assim -
Repetindo mais uma vez a mudança já é ínfima; a sequência converge rapidamente para
-
-
Verificação rápida: com
, soma comdá , e . Compatível dentro das aproximações numéricas.
Passo 7
Interpretação final e valor prático
- O raio interno do tubo de aço antes do encaixe é ligeiramente menor que
; numericamente encontramos ou seja uma folga negativa (interferência) inicial de cerca de . Isso quer dizer que o aço tinha, inicialmente, um diâmetro interno cerca de menor que o diâmetro externo do cobre, gerando a pressão de contato de após o encaixe.