3 - Determinar as tensões normais principais e a máxima tensão tangencial para o eixo mostrado.
Passo 1
O enunciado pede: determinar as tensões normais principais e a máxima tensão tangencial (cisalhamento) para o eixo mostrado.
Dados extraídos da figura (peguei esses números/medidas da imagem):
Dados extraídos da figura (peguei esses números/medidas da imagem):
- Diâmetro do eixo:
(logo raio ). - Força axial (tração) aplicada:
. - Torque aplicado:
. - Há um par de forças verticais iguais e opostas, separadas por
(seta para cima na parte inferior e seta para baixo na parte superior). O valor de cada uma dessas forças, conforme indicado na figura, é . Isso constitui um momento de flexão (uma impulsão) de magnitude .
O que precisamos calcular:
- As tensões normais principais (
) no ponto da superfície onde a tensão normal é máxima (fibra externa). - A máxima tensão tangencial (cisalhamento) no mesmo ponto.
Passo 2
Calcular propriedades geométricas do eixo (sólido circular):
- Área da seção transversal:
- Momento de inércia para flexão (seção circular sólida):
- Momento polar (segunda polar) para torção de seção circular sólida:
Explanação didática rápida:
é a área ativa para tensão axial;
aparece na fórmula da tensão de flexão
(onde
é a distância ao eixo neutro);
é usado na fórmula da tensão de cisalhamento por torção
.
Passo 3
Calcular as tensões individuais geradas por cada carregamento (no ponto extremo da fibra, a
).
- Tensão axial média (tração uniforme):
Explicação: a carga axial é distribuída uniformemente sobre a área; cortar um elemento e dividir força pela área dá a tensão normal uniforme.
- Tensão de flexão na fibra externa (valor máximo de tensão normal devido ao momento
):
Observação de sinal: dependendo do lado da seção, a flexão pode produzir tração ou compressão. Na fibra onde a flexão produz tração, o sinal é positivo; no lado oposto será compressivo.
- Tensão de cisalhamento por torção na superfície:
Explicação: a fórmula
dá a tensão cortante máxima na superfície de um eixo circular sólido.
Passo 4
Determinar a tensão normal total no ponto da superfície onde a normal é máxima (ou seja, fibra externa onde a flexão e o axial se somam). Tomando como positivo tração:
No lado oposto da seção a tensão normal seria
(compressão).
Explicação: superposição linear — as tensões normais produzidas por axial e por flexão somam ponto a ponto.
Passo 5
Aplicar a teoria de tensões planas (elemento na superfície): temos
(normal na direção do eixo),
(direção ortogonal na superfície, nenhum esforço normal nessa direção) e
(cisalhamento devido à torção). Para obter as tensões principais e a máxima tensão tangencial usamos as fórmulas clássicas de resistência dos materiais / mecânica:
Média das normais:
Raio de Mohr (módulo usado para achar as principais e as tensões de cisalhamento máximas no plano):
Substituindo números (para o ponto com
e
):
Passo 6
As tensões principais (normais) no ponto são:
Logo:
A máxima tensão tangencial (no plano), que corresponde ao raio de Mohr, vale:
Comentários didáticos finais:
- Interpretando: no ponto da fibra externa onde a flexão e o axial somam, a maior tensão normal principal é cerca de
(tração) e a outra principal é leve compressão . - A máxima tensão de cisalhamento (no plano da seção) é cerca de
. - Para outros pontos (por exemplo a fibra oposta com
), repetir o mesmo procedimento dará os valores principais locais — mas o ponto com é normalmente o local de maior interesse pois ali a normal é máxima.