3 - Determinar as tensões normais principais e a máxima tensão tangencial para o eixo mostrado.

Passo 1

O enunciado pede: determinar as tensões normais principais e a máxima tensão tangencial (cisalhamento) para o eixo mostrado.
Dados extraídos da figura (peguei esses números/medidas da imagem):
  • Diâmetro do eixo: d=4\\ \text{in} (logo raio c=2\\ \text{in}).
  • Força axial (tração) aplicada: P=6{,}000\pi\\ \text{lb}.
  • Torque aplicado: T=4{,}000\pi\\ \text{lb}\cdot\text{in}.
  • Há um par de forças verticais iguais e opostas, separadas por 4\\ \text{in} (seta para cima na parte inferior e seta para baixo na parte superior). O valor de cada uma dessas forças, conforme indicado na figura, é F=3{,}000\pi\\ \text{lb}. Isso constitui um momento de flexão (uma impulsão) de magnitude M=F\cdot 4\\ \text{in}=12{,}000\pi\\ \text{lb}\cdot\text{in}.
O que precisamos calcular:
  • As tensões normais principais ( \sigma_1,\sigma_2) no ponto da superfície onde a tensão normal é máxima (fibra externa).
  • A máxima tensão tangencial (cisalhamento) no mesmo ponto.

Passo 2

Calcular propriedades geométricas do eixo (sólido circular):
  • Área da seção transversal:
A=\pi\left(\frac{d}{2}\right)^2=\pi(2)^2=4\pi\\ \text{in}^2.
  • Momento de inércia para flexão (seção circular sólida):
I=\frac{\pi d^4}{64}=\frac{\pi\cdot 4^4}{64}=\frac{\pi\cdot 256}{64}=4\pi\\ \text{in}^4.
  • Momento polar (segunda polar) para torção de seção circular sólida:
J=\frac{\pi d^4}{32}=\frac{\pi\cdot 256}{32}=8\pi\\ \text{in}^4.
Explanação didática rápida: A é a área ativa para tensão axial; I aparece na fórmula da tensão de flexão \sigma_b=M\,y/I (onde y é a distância ao eixo neutro); J é usado na fórmula da tensão de cisalhamento por torção \tau = T\,r/J.

Passo 3

Calcular as tensões individuais geradas por cada carregamento (no ponto extremo da fibra, a r=2\\ \text{in}).
  1. Tensão axial média (tração uniforme):
\sigma_a=\frac{P}{A}=\frac{6{,}000\pi}{4\pi}=1{,}500\\ \text{psi}.
Explicação: a carga axial é distribuída uniformemente sobre a área; cortar um elemento e dividir força pela área dá a tensão normal uniforme.
  1. Tensão de flexão na fibra externa (valor máximo de tensão normal devido ao momento M):
\sigma_b=\frac{M\,c}{I}=\frac{12{,}000\pi\cdot 2}{4\pi}=\frac{24{,}000\pi}{4\pi}=6{,}000\\ \text{psi}.
Observação de sinal: dependendo do lado da seção, a flexão pode produzir tração ou compressão. Na fibra onde a flexão produz tração, o sinal é positivo; no lado oposto será compressivo.
  1. Tensão de cisalhamento por torção na superfície:
\tau_{t}=\frac{T\,c}{J}=\frac{4{,}000\pi\cdot 2}{8\pi}=\frac{8{,}000\pi}{8\pi}=1{,}000\\ \text{psi}.
Explicação: a fórmula \tau = T r / J dá a tensão cortante máxima na superfície de um eixo circular sólido.

Passo 4

Determinar a tensão normal total no ponto da superfície onde a normal é máxima (ou seja, fibra externa onde a flexão e o axial se somam). Tomando como positivo tração:
\sigma_x=\sigma_a+\sigma_b=1{,}500+6{,}000=7{,}500\\ \text{psi}.
No lado oposto da seção a tensão normal seria \sigma_x'=\sigma_a-\sigma_b=1{,}500-6{,}000=-4{,}500\\ \text{psi} (compressão).
Explicação: superposição linear — as tensões normais produzidas por axial e por flexão somam ponto a ponto.

Passo 5

Aplicar a teoria de tensões planas (elemento na superfície): temos \sigma_x (normal na direção do eixo), \sigma_y=0 (direção ortogonal na superfície, nenhum esforço normal nessa direção) e \tau_{xy}=\tau_t (cisalhamento devido à torção). Para obter as tensões principais e a máxima tensão tangencial usamos as fórmulas clássicas de resistência dos materiais / mecânica:
Média das normais:
\sigma_{m}=\frac{\sigma_x+\sigma_y}{2}=\frac{\sigma_x+0}{2}=\frac{\sigma_x}{2}.
Raio de Mohr (módulo usado para achar as principais e as tensões de cisalhamento máximas no plano):
R=\sqrt{\left(\frac{\sigma_x-\sigma_y}{2}\right)^2+\tau_{xy}^2} =\sqrt{\left(\frac{\sigma_x}{2}\right)^2+\tau_t^2}.
Substituindo números (para o ponto com \sigma_x=7{,}500\\ \text{psi} e \tau_t=1{,}000\\ \text{psi}):
\sigma_m=\frac{7{,}500}{2}=3{,}750\\ \text{psi},
R=\sqrt{3{,}750^2+1{,}000^2} =\sqrt{14{,}062{,}500+1{,}000{,}000} =\sqrt{15{,}062{,}500}\approx 3{,}881{,}04\\ \text{psi}.

Passo 6

As tensões principais (normais) no ponto são:
\sigma_{1,2}=\sigma_m\pm R.
Logo:
\sigma_1=\sigma_m+R=3{,}750+3{,}881{,}044\approx 7{,}631{,}04\\ \text{psi},
\sigma_2=\sigma_m-R=3{,}750-3{,}881{,}044\approx -131{,}04\\ \text{psi}.
A máxima tensão tangencial (no plano), que corresponde ao raio de Mohr, vale:
\tau_{\max}=R\approx 3{,}881{,}04\\ \text{psi}.
Comentários didáticos finais:
  • Interpretando: no ponto da fibra externa onde a flexão e o axial somam, a maior tensão normal principal é cerca de 7{,}631\\ \text{psi} (tração) e a outra principal é leve compressão -131\\ \text{psi}.
  • A máxima tensão de cisalhamento (no plano da seção) é cerca de 3{,}881\\ \text{psi}.
  • Para outros pontos (por exemplo a fibra oposta com \sigma_x=-4{,}500\\ \text{psi}), repetir o mesmo procedimento dará os valores principais locais — mas o ponto com \sigma_x=7{,}500\\ \text{psi} é normalmente o local de maior interesse pois ali a normal é máxima.

Resposta

\sigma_1\approx 7{,}631\\ \text{psi}
\sigma_2\approx -131\\ \text{psi}
\tau_{\max}\approx 3{,}881\\ \text{psi}

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