Dado \vec{D}=2 \cdot p \overrightarrow{a p}+\operatorname{sen} \theta \overrightarrow{a z}\left[c / m^{2}\right], determine o fluxo elétrico \varphi que passa pela superfície definida por 2 m \leqslant p \leqslant 4 m, 90^{\circ} \leqslant \varphi \leqslant 180^{\circ} e z=4 m. Faça o desenho da superfície.
e a superfície plana descrita em coordenadas cilíndricas por
2\\ \mathrm{m}\le p\le 4\\ \mathrm{m},
90^\circ\le \varphi\le 180^\circ,
z=4\\ \mathrm{m}.
O que o problema pede:
Determinar o fluxo elétrico \Phi que passa por essa superfície.
Fazer um desenho (esboço) da superfície.
Observações/clarificações que vou assumir (não pedir mais nada):
Vou assumir que o símbolo \theta que aparece no campo vetorial é o mesmo ângulo azimutal que o enunciado denota por \varphi. Ou seja, \theta=\varphi (isso é a interpretação natural quando o campo tem dependência angular e a superfície é dada em coordenadas cilíndricas).
Como não foi especificada orientação, tomo a normal da superfície apontando para +\overrightarrow{a_z} (normal para cima). Se quiser o sinal oposto, basta trocar o sinal do resultado.
Passo 2
Entender a superfície e o sistema de coordenadas (aula rápida e concreta).
Em coordenadas cilíndricas usamos as variáveis p (raio ou distância radial), \varphi (ângulo azimutal no plano xy) e z.
A superfície dada é um setor anelar (uma “fatia” de anel) no plano horizontal z=4. O setor está entre círculos de raio p=2 e p=4, e subtende o ângulo de 90^\circ a 180^\circ (ou seja, a segunda quadrante no plano xy).
A área elementar em coordenadas cilíndricas para uma superfície plana z= const é
\mathrm{d}S = p\,\mathrm{d}p\,\mathrm{d}\varphi.
Explicação rápida: em coordenadas polares o pequeno retângulo tem comprimento radial \mathrm{d}p e arco p\,\mathrm{d}\varphi, então a área é produto desses.
Passo 3
Fórmula do fluxo e projeção do campo (aula sobre o que integrar).
O fluxo elétrico através da superfície S é
\Phi=\iint_{S}\vec{D}\cdot\mathrm{d}\vec{S}.
Para uma superfície plana em z=4 com normal escolhida \overrightarrow{a_z}, tem-se \mathrm{d}\vec{S}=\overrightarrow{a_z}\, \mathrm{d}S e portanto
No campo dado, o componente na direção \overrightarrow{a_z} é \operatorname{sen}\theta. O termo radial 2p\,\overrightarrow{a_p} é tangente ao plano z= const, logo sua contribuição ao produto escalar com \overrightarrow{a_z} é zero.
Assim, o integrando fica simplesmente o componente z multiplicado pela área elementar:
O campo tinha unidades [\mathrm{C}/\mathrm{m}^2] e \mathrm{d}S tem unidades [\mathrm{m}^2], então o fluxo tem unidades [\mathrm{C}] (coulombs).
Com a orientação escolhida (+\overrightarrow{a_z}), o fluxo é positivo e vale 6\\ \mathrm{C}. Se a normal fosse tomada para baixo, o fluxo seria -6\\ \mathrm{C}.
Passo 8
Desenho esquemático da superfície (como fazer um esboço rápido na prova)
Fazer um esboço em duas vistas ajuda:
Vista de cima (planta): desenhar dois arcos concêntricos de raio 2 e 4. Marcar o setor entre 90^\circ e 180^\circ — isso é o segundo quadrante (à esquerda e acima do eixo x). Sombrear a região entre os arcos nesse setor.
Vista lateral: desenhar o plano z=4 como uma linha horizontal e indicar que a superfície está nesse plano (um anel achatado). Indicar a normal \overrightarrow{a_z} apontando para cima.
Etiquetas importantes no esboço: p=2, p=4, ângulo \varphi variando de 90^\circ a 180^\circ, z=4\\ \mathrm{m}. Isso mostra claramente o setor anelar onde se calculou o fluxo.