Dado \vec{D}=2 \cdot p \overrightarrow{a p}+\operatorname{sen} \theta \overrightarrow{a z}\left[c / m^{2}\right], determine o fluxo elétrico \varphi que passa pela superfície definida por 2 m \leqslant p \leqslant 4 m, 90^{\circ} \leqslant \varphi \leqslant 180^{\circ} e z=4 m. Faça o desenho da superfície.

Passo 1

O enunciado nos dá o campo vetorial
\vec{D}=2\cdot p\,\overrightarrow{a_p}+\operatorname{sen}\theta\,\overrightarrow{a_z}\quad\left[\mathrm{C}/\mathrm{m}^2\right]
e a superfície plana descrita em coordenadas cilíndricas por
  • 2\\ \mathrm{m}\le p\le 4\\ \mathrm{m},
  • 90^\circ\le \varphi\le 180^\circ,
  • z=4\\ \mathrm{m}.
O que o problema pede:
  • Determinar o fluxo elétrico \Phi que passa por essa superfície.
  • Fazer um desenho (esboço) da superfície.
Observações/clarificações que vou assumir (não pedir mais nada):
  • Vou assumir que o símbolo \theta que aparece no campo vetorial é o mesmo ângulo azimutal que o enunciado denota por \varphi. Ou seja, \theta=\varphi (isso é a interpretação natural quando o campo tem dependência angular e a superfície é dada em coordenadas cilíndricas).
  • Como não foi especificada orientação, tomo a normal da superfície apontando para +\overrightarrow{a_z} (normal para cima). Se quiser o sinal oposto, basta trocar o sinal do resultado.

Passo 2

Entender a superfície e o sistema de coordenadas (aula rápida e concreta).
  • Em coordenadas cilíndricas usamos as variáveis p (raio ou distância radial), \varphi (ângulo azimutal no plano xy) e z.
  • A superfície dada é um setor anelar (uma “fatia” de anel) no plano horizontal z=4. O setor está entre círculos de raio p=2 e p=4, e subtende o ângulo de 90^\circ a 180^\circ (ou seja, a segunda quadrante no plano xy).
  • A área elementar em coordenadas cilíndricas para uma superfície plana z= const é
\mathrm{d}S = p\,\mathrm{d}p\,\mathrm{d}\varphi.
Explicação rápida: em coordenadas polares o pequeno retângulo tem comprimento radial \mathrm{d}p e arco p\,\mathrm{d}\varphi, então a área é produto desses.

Passo 3

Fórmula do fluxo e projeção do campo (aula sobre o que integrar).
  • O fluxo elétrico através da superfície S é
\Phi=\iint_{S}\vec{D}\cdot\mathrm{d}\vec{S}.
  • Para uma superfície plana em z=4 com normal escolhida \overrightarrow{a_z}, tem-se \mathrm{d}\vec{S}=\overrightarrow{a_z}\, \mathrm{d}S e portanto
\vec{D}\cdot\mathrm{d}\vec{S}=(\vec{D}\cdot\overrightarrow{a_z})\,\mathrm{d}S.
  • No campo dado, o componente na direção \overrightarrow{a_z} é \operatorname{sen}\theta. O termo radial 2p\,\overrightarrow{a_p} é tangente ao plano z= const, logo sua contribuição ao produto escalar com \overrightarrow{a_z} é zero.
  • Assim, o integrando fica simplesmente o componente z multiplicado pela área elementar:
\vec{D}\cdot\mathrm{d}\vec{S}=\operatorname{sen}\theta\; p\,\mathrm{d}p\,\mathrm{d}\varphi.

Passo 4

Montar a integral de fluxo com os limites dados.
  • Substituindo os limites p\in[2,4] e \varphi\in[\pi/2,\pi] (convertendo graus para radianos), obtemos
\Phi=\int_{\varphi=\pi/2}^{\pi}\int_{p=2}^{4} \operatorname{sen}\varphi\; p\,\mathrm{d}p\,\mathrm{d}\varphi.
(lembrando que usamos \theta=\varphi conforme a suposição feita).

Passo 5

Resolver a integral em p (detalhes para fazer na prova sem calculadora).
  • Primeiro integramos em relação a p:
\int_{p=2}^{4} p\,\mathrm{d}p=\left.\frac{p^{2}}{2}\right|_{2}^{4}=\frac{4^{2}-2^{2}}{2}=\frac{16-4}{2}=\frac{12}{2}=6.
  • Portanto a integral fica
\Phi=6\int_{\pi/2}^{\pi}\operatorname{sen}\varphi\,\mathrm{d}\varphi.

Passo 6

Resolver a integral em \varphi (explicando a primitiva).
  • A primitiva de \operatorname{sen}\varphi é -\cos\varphi, pois \dfrac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}\varphi}(-\cos\varphi)=\sin\varphi.
  • Avaliando:
\int_{\pi/2}^{\pi}\operatorname{sen}\varphi\,\mathrm{d}\varphi=\left.-\cos\varphi\right|_{\pi/2}^{\pi} = \big(-\cos\pi\big)-\big(-\cos(\pi/2)\big).
  • Sabendo \cos\pi=-1 e \cos(\pi/2)=0, obtemos
\int_{\pi/2}^{\pi}\operatorname{sen}\varphi\,\mathrm{d}\varphi = -(-1)-(-0)=1.
  • Assim
\Phi=6\cdot 1 = 6.

Passo 7

Unidades e interpretação final.
  • O campo tinha unidades [\mathrm{C}/\mathrm{m}^2] e \mathrm{d}S tem unidades [\mathrm{m}^2], então o fluxo tem unidades [\mathrm{C}] (coulombs).
  • Com a orientação escolhida ( +\overrightarrow{a_z}), o fluxo é positivo e vale 6\\ \mathrm{C}. Se a normal fosse tomada para baixo, o fluxo seria -6\\ \mathrm{C}.

Passo 8

Desenho esquemático da superfície (como fazer um esboço rápido na prova)
  • Fazer um esboço em duas vistas ajuda:
    1. Vista de cima (planta): desenhar dois arcos concêntricos de raio 2 e 4. Marcar o setor entre 90^\circ e 180^\circ — isso é o segundo quadrante (à esquerda e acima do eixo x). Sombrear a região entre os arcos nesse setor.
    2. Vista lateral: desenhar o plano z=4 como uma linha horizontal e indicar que a superfície está nesse plano (um anel achatado). Indicar a normal \overrightarrow{a_z} apontando para cima.
  • Etiquetas importantes no esboço: p=2, p=4, ângulo \varphi variando de 90^\circ a 180^\circ, z=4\\ \mathrm{m}. Isso mostra claramente o setor anelar onde se calculou o fluxo.

Resposta

\Phi=6\\ \mathrm{C}

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