Uma lâmina com densidade de carga p s=10 \mathrm{nc} / m^{2} ocupa o plano “ x z” em y=0. Determine o trabalho necessário para mover uma carga q=2 n c do ponto P(-5, 10,2 m) para o ponto m(2,3,0 m). Determine a D.D.P VMP. Faça o desenho do cenário descrito na questão.

Passo 1

O enunciado fornece e pede o seguinte (peguei todos os números do enunciado):
  • A lâmina com densidade superficial de carga é a superfície y=0 que ocupa o plano xz. Foi dada a densidade
\(\sigma = 10\\ \mathrm{nC/m^{2}} = 10\times10^{-9}\\ \mathrm{C/m^{2}}\).
  • A carga que será movida é
\\ q = 2\\ \mathrm{nC} = 2\times10^{-9}\\ \mathrm{C}.
  • O ponto inicial é
\\ P\bigl(-5,\;10,\;2\bigr)\\ \text{(m)} \quad\text{logo } y_P=10\\ \text{m}.
  • O ponto final é
\\ M\bigl(2,\;3,\;0\bigr)\\ \text{(m)} \quad\text{logo } y_M=3\\ \text{m}.
  • O que foi pedido:
    • Determinar o trabalho necessário para mover a carga q de P para M.
    • Determinar a diferença de potencial elétrico (D.D.P.) V_{M P}=V(M)-V(P).
    • Fazer o desenho (esquema) do cenário.

Passo 2

Desenho esquemático do cenário (fala onde está a lâmina, a direção do eixo y, e a posição de P e M):
Plano xz em y=0 (lá está a lâmina carregada, extensão grande comparada às distâncias consideradas)
Eixo y cresce para cima:
y
^
| P(-5,10,2) *
| |
| |
| M(2,3,0) *
|____________________________> x
(plano xz em y=0)
Legenda: a lâmina está no plano horizontal desenhado em y=0; P fica a y=10\\ \mathrm{m} acima desse plano; M fica a y=3\\ \mathrm{m} acima do plano. (As coordenadas x,z não alteram o campo produzido por uma lâmina infinita.)

Passo 3

Campo elétrico de uma lâmina infinita com densidade superficial \sigma — dedução e resultado prático.
  • Fórmula básica que vamos usar: Lei de Gauss. Para uma lâmina infinitamente extensa, escolhe-se uma “ampulheta” (cilindro reto curto) cortando a lâmina; simetria garante campo perpendicular à lâmina, só componente na direção y.
  • Aplicando Gauss:
    • Fluxo total pela superfície fechada = E\cdot A + E\cdot A = 2EA (duas tampas do cilindro com área A).
    • Carga contida = \sigma A.
    • Lei de Gauss: 2 E A = \dfrac{\sigma A}{\varepsilon_0}.
    • Assim
    \boxed{E = \dfrac{\sigma}{2\varepsilon_0}.}
  • Direção: se \sigma>0 o campo aponta para fora da lâmina; para y>0 isso significa \mathbf{E} = +E\,\hat{y}. O campo é uniforme (independe de x,z e da distância y).

Passo 4

Calcular numericamente o módulo do campo \mathbf{E}.
  • Constante dielétrica do vácuo: \varepsilon_0 \approx 8{,}854187817\times10^{-12}\\ \mathrm{F/m}.
  • Converter \sigma:
\(\sigma = 10\times10^{-9}\\ \mathrm{C/m^{2}}.\)
  • Aplicando a fórmula:
\begin{aligned} E &= \dfrac{\sigma}{2\varepsilon_0} = \dfrac{10\times10^{-9}}{2\cdot 8{,}854187817\times10^{-12}}\\ \mathrm{V/m}\\[4pt] &\approx 5,641895835\times10^{2}\\ \mathrm{V/m}. \end{aligned}
Arredondando com sensatez,
\boxed{E \approx 5,64\times10^{2}\\ \mathrm{V/m}.}]

Passo 5

Fórmula da diferença de potencial entre dois pontos em um campo eletrostático e aplicação ao caso.
  • Definição de diferença de potencial:
\\ V(M)-V(P) = -\int_{P}^{M} \mathbf{E}\cdot d\boldsymbol{\ell}.
  • Aqui \mathbf{E} é constante e aponta na direção \hat{y}. Assim o produto escalar reduz à componente em y:
V(M)-V(P) = -\int_{y_P}^{y_M} E\,dy = -E\,(y_M - y_P).
  • Substituindo y_P=10\\ \mathrm{m}, y_M=3\\ \mathrm{m}:
y_M - y_P = 3 - 10 = -7\\ \mathrm{m}.
  • Portanto
\begin{aligned} V(M)-V(P) &= -E\cdot(-7) = 7E,\\[4pt] V(M)-V(P) &= 7\cdot\bigl(5{,}641895835\times10^{2}\bigr)\\ \mathrm{V}\\[4pt] &\approx 3{,}949327085\times10^{3}\\ \mathrm{V}. \end{aligned}
Arredondando de forma limpa,
\boxed{V_{M P}=V(M)-V(P)\approx 3{,}95\times10^{3}\\ \mathrm{V}.}
Comentário físico curto (importante para a prova): o potencial relativo entre dois pontos depende apenas da diferença das coordenadas y porque o campo é uniforme e perpendicular à lâmina; a escolha da referência (valor absoluto de V) é arbitrária, mas a diferença é bem definida.]

Passo 6

Trabalho necessário para mover a carga q de P para M.
  • Em eletrostática, a variação da energia potencial elétrica de uma carga q deslocada de P para M é
\Delta U = q\bigl(V(M)-V(P)\bigr).
  • Se a movimentação for feita lentamente (quase-estática), o trabalho fornecido pelo agente externo para vencer o campo elétrico é igual a \Delta U (o trabalho realizado pelo campo seria -\Delta U).
  • Substituindo os valores:
\begin{aligned} W_{\text{ext}} &= q\,(V(M)-V(P))\\[4pt] &= \bigl(2\times10^{-9}\\ \mathrm{C}\bigr)\cdot\bigl(3{,}949327085\times10^{3}\\ \mathrm{V}\bigr)\\[4pt] &\approx 7{,}89865417\times10^{-6}\\ \mathrm{J}. \end{aligned}
Arredondando,
\boxed{W_{\text{necessário}}\approx 7{,}90\times10^{-6}\\ \mathrm{J} = 7{,}90\\ \mu\mathrm{J}.}á
Interpretação física rápida: como V(M)-V(P)>0 e q>0, a energia potencial da carga aumenta ao mover de P para M; isso significa que o agente externo precisa fornecer energia (trabalho positivo).]

Passo 7

Resumo do método (para a prova): 1) identificar simetria → usar Gauss para lâmina infinita e obter E=\sigma/(2\varepsilon_0); 2) calcular V(B)-V(A)=-\int_A^B \mathbf{E}\cdot d\ell (aqui reduz a -E\Delta y); 3) trabalho externo = q vezes a D.D.P. calculada. Esse é um caminho curto, seguro e que não exige integrar em x,z.

Resposta

W_{\text{necessário}}\approx 7{,}90\times10^{-6}\\ \mathrm{J}á
V_{M P}=V(M)-V(P)\approx 3{,}95\times10^{3}\\ \mathrm{V}

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