Uma lâmina com densidade de carga
ocupa o plano “
” em
. Determine o trabalho necessário para mover uma carga
do ponto
para o ponto
. Determine a D.D.P VMP. Faça o desenho do cenário descrito na questão.
Passo 1
O enunciado fornece e pede o seguinte (peguei todos os números do enunciado):
- A lâmina com densidade superficial de carga é a superfície
que ocupa o plano . Foi dada a densidade
- A carga que será movida é
- O ponto inicial é
- O ponto final é
- O que foi pedido:
- Determinar o trabalho necessário para mover a carga
de para . - Determinar a diferença de potencial elétrico (D.D.P.)
. - Fazer o desenho (esquema) do cenário.
- Determinar o trabalho necessário para mover a carga
Passo 2
Desenho esquemático do cenário (fala onde está a lâmina, a direção do eixo
, e a posição de
e
):
Plano
em
(lá está a lâmina carregada, extensão grande comparada às distâncias consideradas)
Eixo
cresce para cima:
y
^
| P(-5,10,2) *
| |
| |
| M(2,3,0) *
|____________________________> x
(plano em
)
^
| P(-5,10,2) *
| |
| |
| M(2,3,0) *
|____________________________> x
(plano
Legenda: a lâmina está no plano horizontal desenhado em
;
fica a
acima desse plano;
fica a
acima do plano. (As coordenadas
não alteram o campo produzido por uma lâmina infinita.)
Passo 3
Campo elétrico de uma lâmina infinita com densidade superficial
— dedução e resultado prático.
- Fórmula básica que vamos usar: Lei de Gauss. Para uma lâmina infinitamente extensa, escolhe-se uma “ampulheta” (cilindro reto curto) cortando a lâmina; simetria garante campo perpendicular à lâmina, só componente na direção
. - Aplicando Gauss:
- Fluxo total pela superfície fechada
(duas tampas do cilindro com área ). - Carga contida
. - Lei de Gauss:
. - Assim
- Fluxo total pela superfície fechada
- Direção: se
o campo aponta para fora da lâmina; para isso significa . O campo é uniforme (independe de e da distância ).
Passo 4
Calcular numericamente o módulo do campo
.
- Constante dielétrica do vácuo:
. - Converter
:
- Aplicando a fórmula:
Arredondando com sensatez,
Passo 5
Fórmula da diferença de potencial entre dois pontos em um campo eletrostático e aplicação ao caso.
- Definição de diferença de potencial:
- Aqui
é constante e aponta na direção . Assim o produto escalar reduz à componente em :
- Substituindo
, :
- Portanto
Arredondando de forma limpa,
Comentário físico curto (importante para a prova): o potencial relativo entre dois pontos depende apenas da diferença das coordenadas
porque o campo é uniforme e perpendicular à lâmina; a escolha da referência (valor absoluto de
) é arbitrária, mas a diferença é bem definida.]
Passo 6
Trabalho necessário para mover a carga
de
para
.
- Em eletrostática, a variação da energia potencial elétrica de uma carga
deslocada de para é
- Se a movimentação for feita lentamente (quase-estática), o trabalho fornecido pelo agente externo para vencer o campo elétrico é igual a
(o trabalho realizado pelo campo seria ). - Substituindo os valores:
Arredondando,
Interpretação física rápida: como
e
, a energia potencial da carga aumenta ao mover de
para
; isso significa que o agente externo precisa fornecer energia (trabalho positivo).]
Passo 7
Resumo do método (para a prova): 1) identificar simetria → usar Gauss para lâmina infinita e obter
; 2) calcular
(aqui reduz a
); 3) trabalho externo =
vezes a D.D.P. calculada. Esse é um caminho curto, seguro e que não exige integrar em
.