Sejam duas linhas de cargas direcionadas ao longo do eixo
, uma com densidade de carga
que passa em
e
. A outra linha com densidade de carga
em
e
. Determine o campo
em
. Faça o desenho das linhas e do vetor
.
Passo 1
Vou listar claramente o que o enunciado dá e o que pede.
- Dados (peguei estes valores do enunciado):
- Duas linhas de carga infinitas, paralelas ao eixo
. - Linha 1: localização em
e densidade linear . - Linha 2: localização em
e densidade linear .
- Duas linhas de carga infinitas, paralelas ao eixo
- Pede-se:
- Determinar o campo elétrico
no ponto . - Fazer o desenho das duas linhas (posições) e do vetor
no ponto pedido.
- Determinar o campo elétrico
Passo 2
Escolha do método e fórmulas que vamos usar (sem resolver ainda).
- Princípio: superposição — o campo total é a soma vetorial dos campos gerados por cada linha.
- Campo de uma linha de carga infinita e retilínea: para uma linha com densidade
, o módulo do campo a uma distância perpendicular da linha vale
onde:
-
é a densidade linear de carga (em ), -
é a permissividade do vácuo ( ), -
é a distância perpendicular da linha ao ponto onde se calcula o campo. - Direção: para
o campo aponta radialmente para fora da linha; para aponta radialmente para dentro (ou seja, na direção do centro da linha). - Vamos trabalhar no plano
(o campo tem componente só em e , a componente em vale zero porque as linhas são infinitas em e o ponto está no plano ).
Passo 3
Calcular vetores posição relativos e distâncias perpendiculares.
- Observação: o ponto é
. - Para a linha 1 (em
no plano ): - vetor do ponto da linha até
:
- distância perpendicular
- vetor unitário na direção de
:
- vetor do ponto da linha até
- Para a linha 2 (em
): - vetor do ponto da linha até
:
- distância perpendicular
- vetor unitário
- vetor do ponto da linha até
Passo 4
Calcular o campo gerado por cada linha (módulo e direção) e escrever em forma vetorial.
- Para a linha 1 (
): - módulo
- direção:
então o campo aponta ao longo de . - vetor
(a última igualdade vem de .) - Para a linha 2 (
): - módulo (positivo em valor absoluto) é o mesmo que para a linha 1 porque
e . - sinal/direção:
então o campo aponta na direção oposta a (ou simplesmente usar a fórmula vetorial com ):
- módulo (positivo em valor absoluto) é o mesmo que para a linha 1 porque
Passo 5
Somar vetorialmente
e
.
- Soma:
- Calcular componente a componente:
- componente
:
- componente
:
- componente
: .
- componente
- Portanto o campo total é
- Interpretação: só há componente na direção
(ou seja, eixo positivo). Fisicamente: o campo gerado pela carga positiva em puxa o ponto para cima e o campo da carga negativa em também aponta para baixo (ou melhor: aponta em direção à linha negativa, que é para cima no ponto considerado) — as componentes se cancelam e as se somam.
Passo 6
Avaliar numericamente o resultado (para termos uma ideia do valor em N/C).
- Usando
,
- Logo numericamente
Passo 7
Como desenhar as linhas e o vetor
(passo a passo para o rascunho)
-
Primeiro desenhe o plano
(vista de cima, eixo saindo da página). -
Marque a coordenada
vertical (linha vertical imaginária) e, sobre ela, marque dois pontos: - ponto
(linha 1) — desenhe uma linha grossa paralela ao eixo passando por esse ponto; coloque sinal de ao lado e indique . - ponto
(linha 2) — desenhe outra linha paralela ao passando por esse ponto; coloque sinal de ao lado e indique .
- ponto
-
Marque o ponto de observação
(um ponto à direita do eixo na abscissa ). -
Desenhe os vetores
e do ponto de cada linha até : um vai para cima e direita , o outro para baixo e direita . -
Para os campos individuais, desenhe setas: do
uma seta saindo radialmente para fora passando por (componente para cima-direita); da linha negativa desenhe setas apontando para a linha (em isso é para cima-esquerda em relação à linha, mas em relação a a contribuição é para cima-esquerda — ao somar verá que as componentes horizontais se cancelam). No final, desenhe a seta resultante no ponto apontando para cima (direção ), com comprimento proporcional ao módulo . Coloque uma etiqueta apontando para cima. -
Observação para o rascunho: o campo total aponta exatamente ao longo de
porque as contribuições horizontais se anulam; então a seta final no ponto é vertical para cima.
Força! Você já tem o procedimento completo: fórmula, vetores unitários, soma e valor numérico — agora só falta riscar no papel.