Sejam duas linhas de cargas direcionadas ao longo do eixo Z, uma com densidade de carga P L_{1}=1 \mathrm{nC} / \mathrm{m} que passa em x=0 e y=-1 \mathrm{~m}. A outra linha com densidade de carga P L 2=-1 \mathrm{nc} / \mathrm{m} em x=0 e y=1 \mathrm{~m}. Determine o campo \vec{E} em (1,0,0). Faça o desenho das linhas e do vetor \vec{E}.

Passo 1

Vou listar claramente o que o enunciado dá e o que pede.
  • Dados (peguei estes valores do enunciado):
    • Duas linhas de carga infinitas, paralelas ao eixo z.
    • Linha 1: localização em x=0,\;y=-1\\ \text{m} e densidade linear \lambda_1 = 1\\ \text{nC/m} = 1\times10^{-9}\\ \text{C/m}.
    • Linha 2: localização em x=0,\;y=1\\ \text{m} e densidade linear \lambda_2 = -1\\ \text{nC/m} = -1\times10^{-9}\\ \text{C/m}.
  • Pede-se:
    • Determinar o campo elétrico \vec{E} no ponto (1,0,0).
    • Fazer o desenho das duas linhas (posições) e do vetor \vec{E} no ponto pedido.

Passo 2

Escolha do método e fórmulas que vamos usar (sem resolver ainda).
  • Princípio: superposição — o campo total é a soma vetorial dos campos gerados por cada linha.
  • Campo de uma linha de carga infinita e retilínea: para uma linha com densidade \lambda, o módulo do campo a uma distância perpendicular r da linha vale
E=\frac{|\lambda|}{2\pi\varepsilon_0 r},
onde:
  • \lambda é a densidade linear de carga (em \text{C/m}),
  • \varepsilon_0 é a permissividade do vácuo ( \varepsilon_0\approx8{,}854187817\times10^{-12}\\ \text{F/m}),
  • r é a distância perpendicular da linha ao ponto onde se calcula o campo.
  • Direção: para \lambda>0 o campo aponta radialmente para fora da linha; para \lambda<0 aponta radialmente para dentro (ou seja, na direção do centro da linha).
  • Vamos trabalhar no plano xy (o campo tem componente só em x e y, a componente em z vale zero porque as linhas são infinitas em z e o ponto está no plano z=0).

Passo 3

Calcular vetores posição relativos e distâncias perpendiculares.
  • Observação: o ponto é P=(1,0,0).
  • Para a linha 1 (em (0,-1) no plano xy):
    • vetor do ponto da linha até P:
    \vec{r}_1 = (1-0,\;0-(-1),\;0-0) = (1,\;1,\;0).
    • distância perpendicular
    r_1 = \|\vec{r}_1\| = \sqrt{1^2+1^2}=\sqrt{2}.
    • vetor unitário na direção de \vec{r}_1:
    \hat{r}_1 = \frac{\vec{r}_1}{r_1}=\frac{1}{\sqrt{2}}(1,\;1,\;0).
  • Para a linha 2 (em (0,1)):
    • vetor do ponto da linha até P:
    \vec{r}_2 = (1-0,\;0-1,\;0-0) = (1,\;-1,\;0).
    • distância perpendicular
    r_2 = \|\vec{r}_2\| = \sqrt{1^2+(-1)^2}=\sqrt{2}.
    • vetor unitário
    \hat{r}_2 = \frac{\vec{r}_2}{r_2}=\frac{1}{\sqrt{2}}(1,\;-1,\;0).

Passo 4

Calcular o campo gerado por cada linha (módulo e direção) e escrever em forma vetorial.
  • Para a linha 1 ( \lambda_1=+1\times10^{-9}\\ \text{C/m}):
    • módulo
    E_1=\frac{|\lambda_1|}{2\pi\varepsilon_0 r_1}=\frac{1\times10^{-9}}{2\pi\varepsilon_0\sqrt{2}}.
    • direção: \lambda_1>0 então o campo aponta ao longo de \hat{r}_1.
    • vetor
    \vec{E}_1 = E_1\,\hat{r}_1 =\frac{1\times10^{-9}}{2\pi\varepsilon_0\sqrt{2}}\cdot\frac{1}{\sqrt{2}}(1,\;1,\;0) =\frac{1\times10^{-9}}{4\pi\varepsilon_0}(1,\;1,\;0).(a última igualdade vem de \dfrac{1}{\sqrt{2}}\cdot\dfrac{1}{\sqrt{2}}=\dfrac{1}{2}.)
  • Para a linha 2 ( \lambda_2=-1\times10^{-9}\\ \text{C/m}):
    • módulo (positivo em valor absoluto) é o mesmo que para a linha 1 porque |\lambda_2|=|\lambda_1| e r_2=r_1.
    • sinal/direção: \lambda_2<0 então o campo aponta na direção oposta a \hat{r}_2 (ou simplesmente usar a fórmula vetorial com \lambda_2):
    \vec{E}_2 = \frac{\lambda_2}{2\pi\varepsilon_0 r_2}\,\hat{r}_2 =\frac{-1\times10^{-9}}{2\pi\varepsilon_0\sqrt{2}}\cdot\frac{1}{\sqrt{2}}(1,\;-1,\;0) =\frac{-1\times10^{-9}}{4\pi\varepsilon_0}(1,\;-1,\;0).

Passo 5

Somar vetorialmente \vec{E}_1 e \vec{E}_2.
  • Soma:
\vec{E}=\vec{E}_1+\vec{E}_2 =\frac{1\times10^{-9}}{4\pi\varepsilon_0}(1,\;1,\;0)+\frac{-1\times10^{-9}}{4\pi\varepsilon_0}(1,\;-1,\;0).
  • Calcular componente a componente:
    • componente x:
    E_x=\frac{1\times10^{-9}}{4\pi\varepsilon_0}\cdot1+\frac{-1\times10^{-9}}{4\pi\varepsilon_0}\cdot1 = 0.
    • componente y:
    E_y=\frac{1\times10^{-9}}{4\pi\varepsilon_0}\cdot1+\frac{-1\times10^{-9}}{4\pi\varepsilon_0}\cdot(-1) =\frac{1\times10^{-9}}{4\pi\varepsilon_0}+\frac{1\times10^{-9}}{4\pi\varepsilon_0} =\frac{2\times10^{-9}}{4\pi\varepsilon_0}=\frac{1\times10^{-9}}{2\pi\varepsilon_0}.
    • componente z: E_z=0.
  • Portanto o campo total é
\vec{E}(1,0,0)=\left(0,\;\frac{1\times10^{-9}}{2\pi\varepsilon_0},\;0\right).
  • Interpretação: só há componente na direção +\hat{y} (ou seja, eixo y positivo). Fisicamente: o campo gerado pela carga positiva em (0,-1) puxa o ponto para cima e o campo da carga negativa em (0,1) também aponta para baixo (ou melhor: aponta em direção à linha negativa, que é para cima no ponto considerado) — as componentes x se cancelam e as y se somam.

Passo 6

Avaliar numericamente o resultado (para termos uma ideia do valor em N/C).
  • Usando \varepsilon_0\approx8{,}854187817\times10^{-12}\\ \text{F/m},
\frac{1\times10^{-9}}{2\pi\varepsilon_0} \approx \frac{1\times10^{-9}}{2\pi\cdot 8{,}854187817\times10^{-12}} \approx 17{,}96\\ \text{N/C}.
  • Logo numericamente
\vec{E}(1,0,0)\approx 17{,}96\\ \hat{y}\\ \text{N/C}.

Passo 7

Como desenhar as linhas e o vetor \vec{E} (passo a passo para o rascunho)
  • Primeiro desenhe o plano xy (vista de cima, eixo z saindo da página).
  • Marque a coordenada x=0 vertical (linha vertical imaginária) e, sobre ela, marque dois pontos:
    • ponto A=(0,-1) (linha 1) — desenhe uma linha grossa paralela ao eixo z passando por esse ponto; coloque sinal de + ao lado e indique \lambda_1=+1\\ \text{nC/m}.
    • ponto B=(0,1) (linha 2) — desenhe outra linha paralela ao z passando por esse ponto; coloque sinal de - ao lado e indique \lambda_2=-1\\ \text{nC/m}.
  • Marque o ponto de observação P=(1,0) (um ponto à direita do eixo y na abscissa x=1).
  • Desenhe os vetores \vec{r}_1 e \vec{r}_2 do ponto de cada linha até P: um vai para cima e direita (1,1), o outro para baixo e direita (1,-1).
  • Para os campos individuais, desenhe setas: do (0,-1) uma seta saindo radialmente para fora passando por P (componente para cima-direita); da linha negativa desenhe setas apontando para a linha (em P isso é para cima-esquerda em relação à linha, mas em relação a P a contribuição é para cima-esquerda — ao somar verá que as componentes horizontais se cancelam). No final, desenhe a seta resultante no ponto P apontando para cima (direção +\hat{y}), com comprimento proporcional ao módulo 17{,}96\\ \text{N/C}. Coloque uma etiqueta \vec{E} apontando para cima.
  • Observação para o rascunho: o campo total aponta exatamente ao longo de +\hat{y} porque as contribuições horizontais se anulam; então a seta final no ponto P é vertical para cima.
Força! Você já tem o procedimento completo: fórmula, vetores unitários, soma e valor numérico — agora só falta riscar no papel.

Resposta

\displaystyle \vec{E}(1,0,0)=\left(0,\;\frac{1\times10^{-9}}{2\pi\varepsilon_0},\;0\right)\\ \text{N/C}
\displaystyle \vec{E}(1,0,0)\approx 17{,}96\\ \hat{y}\\ \text{N/C}

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