Dado o vetor densidade de corrente barJ=10 rho^2 z bararho-4 rho cos ^2 phi baraphi(mA / m^2): determine a corrente total que fui para fora do cilindro definido por rho=3,0.

Passo 1

Beleza, então o enunciado diz que temos um vetor densidade de corrente
barJ=10,rho^2z,arho ;-;4,rhocos^2phi,aphi l(mA/m^2r)
e pede a corrente total saindo de um cilindro definido por
0<=rho<=3, 0
O conteúdo é Teorema da Divergência (Gauss), e vamos precisar:
  1. calcular nabla!cdot!bar J em coordenadas cilíndricas;
  2. usar Irm total=integral triplaV(nabla!cdot!bar J),dV com dV=rho,drho,dphi,dz.

Passo 2

Em coordenadas cilíndricas a divergência é
nabla!cdot!bar J =1rhopartial(rho Jrho)partialrho +1rhopartial Jphipartialphi +partial Jzpartial z
Aqui Jrho=10rho^2 z,;Jphi=-4rhocos^2phi,;Jz=0.

Passo 3

Vamos achar cada termo:
  1. 1rhopartial(rho Jrho)partialrho =1rhopartiall(10rho^3 zr)partialrho =30rho^2 zrho=30,rho,z
  2. 1rhopartial Jphipartialphi =1rhopartiall(-4rhocos^2phir)partialphi =-4rhocdot(-2cosphisinphi)rho =8cosphisinphi =4sin2phi
  3. Jz=0impliespartial Jz/partial z=0
Então
nabla!cdot!bar J = 30,rho,z ;+;4sin2phi

Passo 4

A corrente total é
I =integral triplaV(nabla!cdot!bar J),dV =integralz=2^2.8!integralphi=0^2pi!integralrho=0^3 l(30rho z +4sin2phir),rho,drho,dphi,dz

Passo 5

Primeiro integramos em rho:
integral0^3(30rho z),rho,drho =30zintegral0^3rho^2,drho =30zcdot3^33=270,z,
integral0^3 4sin2phi,rho,drho =4sin2phiintegral0^3rho,drho =4sin2phicdot3^22=18sin2phi
Logo o integral vira
integralz=2^2.8!integralphi=0^2pi l(270z+18sin2phir),dphi,dz

Passo 6

Integramos em z:
integral2^2.8270z,dz =270cdotz^22|2^2.8 =135l(2.8^2-2^2r) =135cdot3.84 =518.4,
integral2^2.818sin2phi,dz =18sin2phicdot(2.8-2) =14.4sin2phi
Fica
integral0^2pil(518.4+14.4sin2phir),dphi =518.4cdot2pi +14.4integral0^2pisin2phi,dphi =518.4cdot2pi,
pois integral0^2pisin2phi,dphi=0.

Resposta

Irm total =518.4cdot2pi;mA =1036.8pi;mA approx3.26;A

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