Dado o vetor velocidade:
\bar{V}=\left(-y^{3}-4 z\right) \hat{j}+\left(3 y^{2} z\right) \hat{k}
a) Verifique se o escoamento é uni, bi ou tridimensional;
b) Verificar se o escoamento é em regime permanente ou não;
c) Determinar a aceleração da partícula;
d) Verificar se o escoamento é compressível ou incompressível.

Passo 1

O enunciado fornece o campo de velocidade
\bar V = (-y^3 - 4z)\,\hat \jmath \;+\;(3y^2 z)\,\hat k
definido no espaço com coordenadas x,y,z. Pergunta:
a) se o escoamento é uni/bi/tridimensional;
b) se é em regime permanente;
c) aceleração da partícula;
d) se é compressível.
Vamos usar classificação por número de componentes não nulas, dependência em t, aceleração convectiva (\bar V\cdot\nabla)\bar V e divergência de \bar V.

Passo 2

Para classificar a dimensão observamos que
\bar V = (0,\;-y^3-4z,\;3y^2z),
ou seja, apenas as componentes em \hat\jmath e \hat k são não nulas e o campo depende só de y e z. Logo é um escoamento bidimensional.

Passo 3

Verificamos permanência checando se há dependência explícita em t. Como não aparece t no campo de velocidade, tem-se
\frac{\partial \bar V}{\partial t}=0
e, portanto, o escoamento é em regime permanente.

Passo 4

Em escoamento permanente a aceleração é só convectiva:
\bar a = (\bar V\cdot\nabla)\bar V.
Chamando u=0, v=-y^3-4z, w=3y^2z, calculamos
a_x = u\,\pd{u}{x} + v\,\pd{u}{y} + w\,\pd{u}{z} = 0,
a_y = u\,\pd{v}{x} + v\,\pd{v}{y} + w\,\pd{v}{z} = (-y^3-4z)(-3y^2)+(3y^2z)(-4) = 3y^5,
a_z = u\,\pd{w}{x} + v\,\pd{w}{y} + w\,\pd{w}{z} = (-y^3-4z)(6yz)+(3y^2z)(3y^2) = 3y^4z - 24y z^2.
Assim,
\bar a = 0\,\hat\imath \;+\;3y^5\,\hat\jmath\;+\;(3y^4z -24y z^2)\,\hat k.

Passo 5

Para ver compressibilidade calculamos a divergência
\nabla\!\cdot\bar V = \pd{u}{x} + \pd{v}{y} + \pd{w}{z} = 0 + (-3y^2) + (3y^2) = 0.
Como \nabla\cdot\bar V=0, o escoamento é incompressível.

Resposta

a) Escoamento bidimensional.
b) Em regime permanente.
c) \bar a = 0\,\hat\imath + 3y^5\,\hat\jmath + (3y^4z - 24y z^2)\,\hat k.
d) Escoamento incompressível.

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