Durante a deformação a frio discordâncias são geradas e recuperadas. No cobre policristalino a expressão empírica que correlaciona a deformação com a densidade de discordâncias \rho é dada por:
\rho\left(\mathrm{m}^{-2}\right)=2,1 \times 10^{14}[1-0,99 \exp (-1,45 \varepsilon)]^{2}
Para o cobre laminado a frio foram levantados os seguintes dados de deformação e limite de escoamento
\varepsilon \% \sigma \mathrm{MPa}
0,058 195
0,116 205
0,232 250
0,463 310
0,928 345
1,39 365
Determine os valores espeardos de densidade de discordância e verifique se o aumento de limite de escoamento é compatível com a teoria de encruamento.
O que acontecerá com o comportamento do cobre se forem acrescentadas 3% em volume partículas de BeO tendo raio de 20 nm ?

Passo 1

O enunciado dá a relação empírica entre a deformação a frio \varepsilon e a densidade de discordâncias \rho no cobre policristalino:
\rho\;(\mathrm{m}^{-2}) \;=\;2,1\times10^{14}\bigl[\,1-0,99\exp(-1,45\,\varepsilon)\bigr]^{2}
e fornece dados experimentais de \varepsilon e limite de escoamento \sigma.
Vamos (i) calcular para cada \varepsilon o valor de \rho, (ii) verificar se o aumento de \sigma segue a lei de Taylor \sigma=\sigma_{i}+\alpha\,M\,G\,b\,\sqrt{\rho} e (iii) estimar o reforço ao adicionar 3 % em volume de partículas de BeO de raio 20 nm.

Passo 2

Calcular \rho para cada \varepsilon usando
\rho =2,1\times10^{14}\bigl[1-0,99\exp(-1,45\,\varepsilon)\bigr]^{2}.
Para os valores de \varepsilon dados obtemos:
\varepsilon=0{,}058\implies \rho\approx1{,}7\times10^{12}\,\mathrm{m}^{-2}.
\varepsilon=0{,}116\implies \rho\approx5{,}6\times10^{12}\,\mathrm{m}^{-2}.
\varepsilon=0{,}232\implies \rho\approx1{,}8\times10^{13}\,\mathrm{m}^{-2}.
\varepsilon=0{,}463\implies \rho\approx5{,}1\times10^{13}\,\mathrm{m}^{-2}.
\varepsilon=0{,}928\implies \rho\approx1{,}16\times10^{14}\,\mathrm{m}^{-2}.
\varepsilon=1{,}39\implies \rho\approx1{,}58\times10^{14}\,\mathrm{m}^{-2}.

Passo 3

A teoria de encruamento por discordâncias (lei de Taylor) diz
\sigma = \sigma_{i} + \alpha\,M\,G\,b\,\sqrt{\rho},
com G=44\,\mathrm{GPa}, b=0{,}256\,\mathrm{nm}, M=3,06 e \alpha\approx0,3.
Fazendo um ajuste linear experimental de \sigma versus \sqrt{\rho} extrai-se uma inclinação \alpha M G b_{\rm exp}\approx15\,\mathrm{Pa}, enquanto o valor teórico é
\alpha M G b_{\rm théo} =0,3\times3,06\times44\times10^{9}\times2,56\times10^{-10} \approx10,3\,\mathrm{Pa}.é
Ambos são da mesma ordem de grandeza, logo o aumento de \sigma com \sqrt{\rho} está compatível com a teoria de encruamento por discordâncias.

Passo 4

Ao acrescentar partículas de BeO (fração volumétrica f=0{,}03, raio r=20\,\mathrm{nm}), o mecanismo dominante é o reforço de Orowan.
A densidade de partículas é
n\approx \frac{3f}{4\pi r^{3}}\approx9\times10^{20}\,\mathrm{m}^{-3},
o espaçamento médio entre superfícies é
\lambda\approx n^{-1/3}-2r\approx9{,}65\times10^{-8}-4{,}0\times10^{-8}\approx5{,}65\times10^{-8}\,\mathrm{m},
e o aumento de limite de escoamento é
\Delta\sigma_{\rm Or}\approx0,4\,\frac{G\,b}{\lambda} \approx0,4\;\frac{44\times10^{9}\times2,56\times10^{-10}}{5,65\times10^{-8}} \approx8\times10^{7}\,\mathrm{Pa}\;=\;80\,\mathrm{MPa}.
Esse reforço torna o cobre sensivelmente mais resistente e menos dúctil.

Resposta

As densidades de discordâncias calculadas foram
\begin{aligned} \varepsilon&=0{,}058\;\Rightarrow\;\rho\approx1{,}7\times10^{12}\,\mathrm{m}^{-2},\\\ \varepsilon&=0{,}116\;\Rightarrow\;\rho\approx5{,}6\times10^{12}\,\mathrm{m}^{-2},\\\ \varepsilon&=0{,}232\;\Rightarrow\;\rho\approx1{,}8\times10^{13}\,\mathrm{m}^{-2},\\\ \varepsilon&=0{,}463\;\Rightarrow\;\rho\approx5{,}1\times10^{13}\,\mathrm{m}^{-2},\\\ \varepsilon&=0{,}928\;\Rightarrow\;\rho\approx1{,}16\times10^{14}\,\mathrm{m}^{-2},\\\ \varepsilon&=1{,}39\;\Rightarrow\;\rho\approx1{,}58\times10^{14}\,\mathrm{m}^{-2}. \end{aligned}
O aumento de \sigma segue aproximadamente a relação linear com \sqrt{\rho} prevista pela lei de Taylor, confirmando o encruamento por discordâncias. Ao adicionar 3 % em volume de BeO (20 nm), ocorre reforço de Orowan de cerca de 80\,\mathrm{MPa}, elevando o limite de escoamento e tornando o cobre mais rígido e menos dúctil.

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