Um dado é viciado de modo que a probabilidade de observarmos qualquer número par é a mesma, e a de observarmos qualquer número impar é também a mesma. Porém um número par é três vezes mais provável de ocorrer do que um número impar. Lançando-se esse dado, qual a probabilidade de:
ocorrer um numero menor ou igual a 3?

Passo 1

O enunciado pede a probabilidade de que, ao lançar o dado viciado, ocorra um número menor ou igual a 3. Informações dadas:
  • Os números do dado são 1,2,3,4,5,6.
  • Qualquer número par tem a mesma probabilidade entre si.
  • Qualquer número ímpar tem a mesma probabilidade entre si.
  • Um número par é três vezes mais provável de ocorrer do que um número ímpar.
O evento pedido é \{1,2,3\} (os resultados menores ou iguais a 3).

Passo 2

Vamos modelar as probabilidades de forma simples e matemática. Defina:
  • x = probabilidade de ocorrer um número ímpar específico (ou seja, P(1)=P(3)=P(5)=x).
  • Então, pela condição “um número par é três vezes mais provável do que um número ímpar”, a probabilidade de um número par específico é 3x (ou seja, P(2)=P(4)=P(6)=3x).
Aqui estou usando a ideia de que “qualquer número par tem a mesma probabilidade” e “qualquer ímpar tem a mesma probabilidade”, então basta uma variável para cada categoria.

Passo 3

Usamos a regra básica de probabilidade: a soma das probabilidades de todos os resultados possíveis deve ser 1. Então:
3\text{ (ímpares)}\cdot x \;+\; 3\text{ (pares)}\cdot 3x = 1.í
Isso dá
3x + 9x = 1.

Passo 4

Resolva a equação para x:
12x = 1 \quad\Rightarrow\quad x = \dfrac{1}{12}.
Portanto cada número ímpar tem probabilidade \dfrac{1}{12} e cada número par tem probabilidade
3x = 3\cdot\dfrac{1}{12} = \dfrac{1}{4}.

Passo 5

Agora calculamos a probabilidade do evento "número menor ou igual a 3", que é P(1)+P(2)+P(3). Substituindo:
P(1)=\dfrac{1}{12},\qquad P(2)=\dfrac{1}{4}=\dfrac{3}{12},\qquad P(3)=\dfrac{1}{12}.
Somando:
P(\{1,2,3\}) = \dfrac{1}{12}+\dfrac{3}{12}+\dfrac{1}{12} = \dfrac{5}{12}.

Resposta

\dfrac{5}{12}

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