Dois indivíduos, A e B, vāo jogar cara ou coroa com uma moeda “honesta”. Eles combinam lançar a moeda 5 vezes, e ganha o jogo aquele que ganhar em 3 ou mais lançamentos. Cada um aposta R \ 2800,00 . Feitos os dois primeiros lançamentos, em ambos os quais A vence, eles resolvem encerrar o jogo. Do ponto de vista probabilistico, de que forma devem ser repartidos osçR $5600,00$ ?

Passo 1

Vamos clarear o que o enunciado nos dá e o que ele pede, ponto a ponto:
  • Dois jogadores A e B jogam cara ou coroa com moeda honesta (cada lançamento tem probabilidade 1/2 de favorecer A e 1/2 de favorecer B).
  • Combinaram lançar a moeda 5 vezes no total, e vence quem obtiver 3 ou mais vitórias (ou seja, primeiro a alcançar 3 vitórias).
  • Cada um apostou R\$\,2800{,}00; o pote total é R\$\,5600{,}00.
  • Após os dois primeiros lançamentos, A venceu ambos, então a situação é: A tem 2 vitórias e B tem 0.
  • Eles interrompem o jogo aí e querem repartir o pote de forma justa, do ponto de vista probabilístico.
O enunciado pede: como dividir os R\$\,5600{,}00 entre A e B de modo justo (ou seja, conforme as probabilidades de cada um vencer caso o jogo tivesse seguido)?

Passo 2

Modelagem do que falta acontecer:
  • Ainda restariam até 3 lançamentos (pois o total seria 5 lançamentos). A partir da situação atual ( A: 2 vitórias, B: 0), para que cada um vença o jogo final:
    • A precisa de mais 1 vitória (qualquer uma das próximas até completar 3);
    • B precisa de 3 vitórias consecutivas nas próximas 3 jogadas (pois está com 0 e precisa chegar a 3).
  • Cada lançamento é independente e com probabilidade 1/2 de favorecer A e 1/2 de favorecer B.
Aqui é bom lembrar uma regra básica de probabilidade: quando eventos independentes ocorrem em sequência, a probabilidade de todos ocorrerem é o produto das probabilidades individuais. Por exemplo, se em dois lançamentos independentes a chance de B ganhar cada um é 1/2, então a chance de B ganhar os dois em sequência é \tfrac{1}{2}\cdot\tfrac{1}{2}=(\tfrac{1}{2})^2.

Passo 3

Calcular a probabilidade de B virar o jogo (isto é, vencer as 3 partidas que faltam):
  • Para B vencer precisa ganhar os três lançamentos restantes. Pela independência e regra do produto:
P(\text{\(B\) vence}) = \left(\tfrac{1}{2}\right)^3 = \tfrac{1}{8}.
Explanação: cada sequência de três resultados tem probabilidade \tfrac{1}{8} e a única sequência que dá vitória ao B é a que tem B vencendo todos os três.

Passo 4

Calcular a probabilidade de A vencer:
  • Ou o modo direto: A vence sempre que não ocorrer o caso extremo em que B ganha os três. Assim
P(\text{\(A\) vence}) = 1 - P(\text{\(B\) vence}) = 1 - \tfrac{1}{8} = \tfrac{7}{8}.
  • Intuição enumerativa (opcional, para fixar): nas 3 jogadas restantes há 2^3=8 sequências igualmente prováveis; em 7 delas aparecerá pelo menos uma vitória de A, garantindo a 3ª vitória de A; apenas na sequência BBB B chega a 3 vitórias.

Passo 5

Como repartir o pote de forma justa:
  • Em divisão justa (problema dos pontos), cada jogador deve receber uma parte do pote proporcional à sua probabilidade de vencer o jogo se este continuasse.
  • O pote total é R\$\,5600{,}00. Logo:
\text{Parte de }A = P(\text{\(A\) vence})\times 5600 = \tfrac{7}{8}\times 5600.
Calculemos:
\tfrac{7}{8}\times 5600 = 7\times\left(\tfrac{5600}{8}\right)=7\times700=4900.
\text{Parte de }B = P(\text{\(B\) vence})\times 5600 = \tfrac{1}{8}\times 5600 = 700.
  • Verificação rápida: 4900+700=5600, bate com o total do pote.

Passo 6

Interpretação final e incentivo curioso:
  • Portanto, do ponto de vista probabilístico e justo, A deve receber R\$\,4900{,}00 e B deve receber R\$\,700{,}00.
  • Comentário amigável: esse é exatamente o tipo de problema clássico (o “problema dos pontos” de Pascal e Fermat). Você já viu que com um raciocínio simples sobre probabilidades condicionais e independência dá pra resolver rapidinho — é só identificar quantos resultados faltam e quem precisa de quantos acertos.

Resposta

A: R\$\,4900{,}00
B: R\$\,700{,}00

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