Dois indivíduos,
e
, vāo jogar cara ou coroa com uma moeda “honesta”. Eles combinam lançar a moeda 5 vezes, e ganha o jogo aquele que ganhar em 3 ou mais lançamentos. Cada um aposta
2800,00
R $5600,00$ ?
Passo 1
Vamos clarear o que o enunciado nos dá e o que ele pede, ponto a ponto:
- Dois jogadores
e jogam cara ou coroa com moeda honesta (cada lançamento tem probabilidade de favorecer e de favorecer ). - Combinaram lançar a moeda
vezes no total, e vence quem obtiver ou mais vitórias (ou seja, primeiro a alcançar vitórias). - Cada um apostou
; o pote total é . - Após os dois primeiros lançamentos,
venceu ambos, então a situação é: tem vitórias e tem . - Eles interrompem o jogo aí e querem repartir o pote de forma justa, do ponto de vista probabilístico.
O enunciado pede: como dividir os
entre
e
de modo justo (ou seja, conforme as probabilidades de cada um vencer caso o jogo tivesse seguido)?
Passo 2
Modelagem do que falta acontecer:
- Ainda restariam até
lançamentos (pois o total seria lançamentos). A partir da situação atual ( : 2 vitórias, : 0), para que cada um vença o jogo final: -
precisa de mais vitória (qualquer uma das próximas até completar ); -
precisa de vitórias consecutivas nas próximas jogadas (pois está com 0 e precisa chegar a 3).
-
- Cada lançamento é independente e com probabilidade
de favorecer e de favorecer .
Aqui é bom lembrar uma regra básica de probabilidade: quando eventos independentes ocorrem em sequência, a probabilidade de todos ocorrerem é o produto das probabilidades individuais. Por exemplo, se em dois lançamentos independentes a chance de
ganhar cada um é
, então a chance de
ganhar os dois em sequência é
.
Passo 3
Calcular a probabilidade de
virar o jogo (isto é, vencer as
partidas que faltam):
- Para
vencer precisa ganhar os três lançamentos restantes. Pela independência e regra do produto:
Explanação: cada sequência de três resultados tem probabilidade
e a única sequência que dá vitória ao
é a que tem
vencendo todos os três.
Passo 4
Calcular a probabilidade de
vencer:
- Ou o modo direto:
vence sempre que não ocorrer o caso extremo em que ganha os três. Assim
- Intuição enumerativa (opcional, para fixar): nas
jogadas restantes há sequências igualmente prováveis; em delas aparecerá pelo menos uma vitória de , garantindo a 3ª vitória de ; apenas na sequência chega a 3 vitórias.
Passo 5
Como repartir o pote de forma justa:
- Em divisão justa (problema dos pontos), cada jogador deve receber uma parte do pote proporcional à sua probabilidade de vencer o jogo se este continuasse.
- O pote total é
. Logo:
Calculemos:
- Verificação rápida:
, bate com o total do pote.
Passo 6
Interpretação final e incentivo curioso:
- Portanto, do ponto de vista probabilístico e justo,
deve receber e deve receber . - Comentário amigável: esse é exatamente o tipo de problema clássico (o “problema dos pontos” de Pascal e Fermat). Você já viu que com um raciocínio simples sobre probabilidades condicionais e independência dá pra resolver rapidinho — é só identificar quantos resultados faltam e quem precisa de quantos acertos.
Resposta
A:
B:
B: