Dado
um conjunto finito qualquer, denote por
o número de elementos de
. Mostre que, se
e
são conjuntos finitos, então
Passo 1
O enunciado pede para provar a fórmula de inclusão–exclusão para dois conjuntos finitos
e
:
O conteúdo usado será a decomposição de conjuntos em uniões disjuntas e a propriedade de que, se
e
são disjuntos, então
.
Passo 2
Observe que
e que esses pares de conjuntos são disjuntos. Logo,
Passo 3
Além disso, notamos que
em que os três termos do lado direito são mutuamente disjuntos. Portanto,
Passo 4
Somando
e
temos
Por outro lado,
Passo 5
Comparando as duas expressões, concluímos que
como era para mostrar.