Dado X um conjunto finito qualquer, denote por \#(X) o número de elementos de X. Mostre que, se A e B são conjuntos finitos, então
\# A+\# B=\#(A \cup B)+\#(A \cap B) .

Passo 1

O enunciado pede para provar a fórmula de inclusão–exclusão para dois conjuntos finitos A e B:
\#A + \#B = \#(A\cup B) + \#(A\cap B).
O conteúdo usado será a decomposição de conjuntos em uniões disjuntas e a propriedade de que, se X e Y são disjuntos, então \#(X\cup Y)=\#X+\#Y.

Passo 2

Observe que
A = (A\setminus B)\;\cup\;(A\cap B), \qquad B = (B\setminus A)\;\cup\;(A\cap B),
e que esses pares de conjuntos são disjuntos. Logo,
\#A = \#(A\setminus B) + \#(A\cap B), \qquad \#B = \#(B\setminus A) + \#(A\cap B).

Passo 3

Além disso, notamos que
A\cup B = (A\setminus B)\;\cup\;(A\cap B)\;\cup\;(B\setminus A),
em que os três termos do lado direito são mutuamente disjuntos. Portanto,
\#(A\cup B) = \#(A\setminus B) + \#(A\cap B) + \#(B\setminus A).

Passo 4

Somando \#A e \#B temos
\#A + \#B = \bigl[\#(A\setminus B)+\#(A\cap B)\bigr] + \bigl[\#(B\setminus A)+\#(A\cap B)\bigr] = \#(A\setminus B) + \#(B\setminus A) + 2\,\#(A\cap B).
Por outro lado,
\#(A\cup B)+\#(A\cap B) = \bigl[\#(A\setminus B)+\#(A\cap B)+\#(B\setminus A)\bigr] + \#(A\cap B) = \#(A\setminus B) + \#(B\setminus A) + 2\,\#(A\cap B).

Passo 5

Comparando as duas expressões, concluímos que
\#A + \#B = \#(A\cup B) + \#(A\cap B),
como era para mostrar.

Resposta

\#A + \#B = \#(A\cup B) + \#(A\cap B).

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