Mostre que
\lim _{n \rightarrow \infty} \frac{1}{2 n}=0

Passo 1

O enunciado pede para mostrarmos que a sequência
a_n = \frac{1}{2n}
tem limite zero quando n\to\infty. O conteúdo aqui é limite de sequência e vamos usar a definição de limite com \varepsilon.

Passo 2

Pela definição, queremos mostrar que para todo \varepsilon>0 existe N\in\mathbb{N} tal que, para todo n\ge N,
\bigl|a_n - 0\bigr| < \varepsilon.
Aqui \bigl|a_n - 0\bigr| = \frac{1}{2n}.

Passo 3

Queremos então
\frac{1}{2n} < \varepsilon.
Isso equivale a
n > \frac{1}{2\varepsilon}.
Basta escolher
N = \left\lceil \frac{1}{2\varepsilon} \right\rceil.
Então, se n\ge N, temos
\frac{1}{2n} \le \frac{1}{2N} < \varepsilon,
como desejado.

Passo 4

Como mostramos que para todo \varepsilon>0 existe N tal que \bigl|1/(2n)-0\bigr|<\varepsilon sempre que n\ge N, concluímos que
\lim_{n\to\infty} \frac{1}{2n} = 0.

Resposta

0

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