Prove que 2^{n-1} \leq n!, para todo n \in \mathbb{N}

Passo 1

Vamos provar por indução em n\in\mathbb{N} que
2^{n-1}\le n!.
A ideia do princípio de indução é verificar o caso base e depois mostrar que, se vale para um n, vale também para n+1.

Passo 2

Caso base: para n=1 temos
2^{1-1}=2^0=1
e
1!=1,
logo 2^0\le1! é verdadeiro.

Passo 3

Passo indutivo: suponha que, para algum n\ge1, já seja válida a desigualdade
2^{n-1}\le n!.
Vamos provar que então
2^n\le(n+1)!.

Passo 4

Partindo de 2^n=2\cdot2^{n-1} e usando a hipótese indutiva,
2^n=2\cdot2^{n-1}\le2\cdot n!.
Como n\ge1 implica n+1\ge2, temos
2\cdot n!\le(n+1)\cdot n!=(n+1)!,
e portanto
2^n\le(n+1)!.

Resposta

Por indução matemática, concluímos que \,2^{n-1}\le n! para todo n\in\mathbb{N}.

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