(0,4) Dado
, considere
e
. Seja
uma sequência de números reais onde
converge mas não converge absolutamente. Mostre que
e
divergem para
.
Passo 1
O enunciado define para cada
as partes positivas e negativas
e dá uma sequência
tal que
converge mas
diverge. O objetivo é mostrar que
e
.
Conteúdo: séries de termos não-negativos, convergência condicional e divisão em partes positiva/negativa.
Conteúdo: séries de termos não-negativos, convergência condicional e divisão em partes positiva/negativa.
Passo 2
Note que para cada
vale
Como
e
, as somas parciais
e
são monótonas crescentes em
. Portanto, cada série
e
ou converge para um número real ou diverge para
.
Passo 3
Pela hipótese temos
diverge.
Como soma de duas séries de termos não-negativos só diverge se pelo menos uma delas divergir, concluímos que
pelo menos uma das séries ou
diverge para
.
Como soma de duas séries de termos não-negativos só diverge se pelo menos uma delas divergir, concluímos que
pelo menos uma das séries
Passo 4
Suponha, por absurdo, que
converge. Então a diferença entre séries convergentes
também converge quando
, pois
converge por hipótese. Logo
converge para um valor finito.
Passo 5
Se
e
convergissem ambas, então
seria soma de duas séries convergentes, logo convergente. Isso contraria a não-convergência absoluta dada. Portanto nossa suposição está errada e
não pode convergir; ou seja,
.
De forma análoga, supondo que
converge leva à conclusão de que
também teria de convergir, o que é absurdo. Então
.