(0,4) Dado x in R, considere x^+=max x, 0 e x^-=max -x, 0. Seja (an) uma sequência de números reais onde sumn=1^infty an converge mas não converge absolutamente. Mostre que sumn=1^infty an^+e sumn=1^infty an^-divergem para +infty.

Passo 1

O enunciado define para cada xinR as partes positivas e negativas
x^+ = maxx,0, x^- = max-x,0,
e dá uma sequência (an) tal que
sumn=1^infty an converge mas
sumn=1^infty|an| diverge. O objetivo é mostrar que
sumn=1^infty an^+=+infty e
sumn=1^infty an^- =+infty.
Conteúdo: séries de termos não-negativos, convergência condicional e divisão em partes positiva/negativa.

Passo 2

Note que para cada n vale
an = an^+ - an^- e |an| = an^+ + an^-
Como an^+>=0 e an^->=0, as somas parciais
sumk=1^N ak^+ e sumk=1^N ak^- são monótonas crescentes em N. Portanto, cada série sum an^+ e sum an^- ou converge para um número real ou diverge para +infty.

Passo 3

Pela hipótese temos
sumn=1^infty |an| = sumn=1^infty (an^+ + an^-) diverge.
Como soma de duas séries de termos não-negativos só diverge se pelo menos uma delas divergir, concluímos que
pelo menos uma das séries sum an^+ ou sum an^- diverge para +infty.

Passo 4

Suponha, por absurdo, que sumn=1^infty an^+ converge. Então a diferença entre séries convergentes
sumn=1^N an^- = sumn=1^Nl(an^+ - anr) = sumn=1^N an^+ ;-;sumn=1^N an
também converge quando Ntoinfty, pois sum an converge por hipótese. Logo sum an^- converge para um valor finito.

Passo 5

Se sum an^+ e sum an^- convergissem ambas, então
sumn=1^infty |an| = sumn=1^infty (an^+ + an^-)
seria soma de duas séries convergentes, logo convergente. Isso contraria a não-convergência absoluta dada. Portanto nossa suposição está errada e sum an^+ não pode convergir; ou seja, sum an^+=+infty.
De forma análoga, supondo que sum an^- converge leva à conclusão de que sum an^+ também teria de convergir, o que é absurdo. Então sum an^- = +infty.

Resposta

sumn=1^infty an^+=+infty e sumn=1^infty an^-=+infty

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