Sejam
um espaço vetorial de dimensão finita e
um operador linear.
(a) Mostre que o polinômio característico independe da particular escolha da base.
(b) Mostre que o determinante de
é igual ao produto das raízes do polinômio característico incluindo as multiplicidades.
(c) Mostre que o traço de
é igual a soma das raízes do polinômio característico incluindo as multiplicidades.
(a) Mostre que o polinômio característico independe da particular escolha da base.
(b) Mostre que o determinante de
(c) Mostre que o traço de
Passo 1
O enunciado trata de um espaço vetorial
de dimensão finita
sobre um corpo
e de um operador linear
. Definimos o polinômio característico de
por
onde, ao fixar uma base de
, interpretamos
como matriz
e
como a matriz identidade
. Vamos mostrar:
(a) não depende da base escolhida;
(b) é o produto das raízes (com multiplicidade) de
;
(c) é a soma das raízes (com multiplicidade) de
.
(a)
(b)
(c)
Passo 2
Seja
uma base e em relação a ela
tem matriz
. Seja
outra base, e
a matriz de mudança de base de
para
. Então a nova matriz de
é
Logo
Como
, segue
Isto prova a independência de base de
.
Passo 3
Num corpo algébricamente fechado (ou estendendo a
) fatoramos
onde
são as raízes com suas multiplicidades. Em particular, o termo constante é
Por outro lado, pela definição de determinante,
Comparando, cancelamos
e obtemos
que é exatamente o produto das raízes de
.
Passo 4
Também sabemos que, ao expandir o determinante de
por cofatores, o coeficiente de
é
. Logo
Por outro lado, da fatoração
Comparando os coeficientes de
, segue
Resposta
(a) O polinômio característico é invariante sob troca de base porque matrizes similares têm o mesmo determinante de
.
(b) é o produto das raízes de
, contando multiplicidade.
(c) é a soma das raízes de
, contando multiplicidade.
(b)
(c)