(1,0) Sejam V um espaço vetorial de dimensão finita e T: V V um operador linear.
(a) Mostre que o polinômio característico independe da particular escolha da base.
(b) Mostre que o determinante de T é igual ao produto das raízes do polinômio característico incluindo as multiplicidades.
(c) Mostre que o traço de T é igual a soma das raízes do polinômio característico incluindo as multiplicidades.

Passo 1

O enunciado trata de um espaço vetorial V de dimensão finita n sobre um corpo Bbb K e de um operador linear Tcolon Vto V. Definimos o polinômio característico de T por
pT(lambda)=detl(lambda IV - Tr)in Bbb K[lambda],
onde, ao fixar uma base de V, interpretamos T como matriz A e IV como a matriz identidade In. Vamos mostrar:
(a) pT não depende da base escolhida;
(b) det(T) é o produto das raízes (com multiplicidade) de pT;
(c) tr(T) é a soma das raízes (com multiplicidade) de pT.

Passo 2

Seja B uma base e em relação a ela T tem matriz A. Seja B' outra base, e P a matriz de mudança de base de B para B'. Então a nova matriz de T é
B = P^-1A,P
Logo
pT, B'(lambda) =detl(lambda In - Br) =detl(lambda In - P^-1A,Pr) =detl(P^-1(lambda In - A)Pr)
Como det(P^-1XP)=det(P^-1)det(X)det(P)=det(X), segue
pT, B'(lambda) =det(lambda In - A) =pT, B(lambda)
Isto prova a independência de base de pT.

Passo 3

Num corpo algébricamente fechado (ou estendendo a Bbb K) fatoramos
pT(lambda) =prodi=1^n(lambda - lambdai),
onde lambda1,dots,lambdan são as raízes com suas multiplicidades. Em particular, o termo constante é
pT(0) =prodi=1^n(0-lambdai) =(-1)^nprodi=1^nlambdai
Por outro lado, pela definição de determinante,
pT(0) =det(0cdot IV - T) =det(-T) =(-1)^ndet(T)
Comparando, cancelamos (-1)^n e obtemos
det(T)=prodi=1^nlambdai,
que é exatamente o produto das raízes de pT.

Passo 4

Também sabemos que, ao expandir o determinante de lambda In - A por cofatores, o coeficiente de lambda^n-1 é -tr(A). Logo
pT(lambda) =lambda^n - l(tr(A)r),lambda^n-1 + cdots
Por outro lado, da fatoração
prodi=1^n(lambda - lambdai) =lambda^n - l(sumi=1^nlambdair)lambda^n-1 + cdots
Comparando os coeficientes de lambda^n-1, segue
tr(T)=sumi=1^nlambdai

Resposta

(a) O polinômio característico é invariante sob troca de base porque matrizes similares têm o mesmo determinante de lambda I - A.
(b) det(T) é o produto das raízes de pT, contando multiplicidade.
(c) tr(T) é a soma das raízes de pT, contando multiplicidade.

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