Utilizando técnicas de integração, determine:
(1,5) integral e^t cos t d t

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral indefinida
integral e^tcos t,dt.
O conteúdo principal aqui é integração por partes, aplicada duas vezes, e em seguida resolveremos uma equação para a própria integral.

Passo 2

Defina
I=integral e^tcos t,dt.
Faça integração por partes escolhendo
u=cos t, dv=e^tdt
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du=-sin t,dt, v=e^t
Assim,
I =;e^tcos t -integral e^t(-sin t),dt =;e^tcos t +integral e^tsin t,dt
Chame
J=integral e^tsin t,dt,
então
I=e^tcos t+J

Passo 3

Agora calcule J por partes, escolhendo
u=sin t, dv=e^tdt
assim
du=cos t,dt, v=e^t,
e
J =;e^tsin t -integral e^tcos t,dt =;e^tsin t -;I

Passo 4

Substitua J em I:
I =e^tcos t + l(e^tsin t - Ir) =e^t(cos t + sin t)-I
Passe -I para o lado esquerdo:
2I=e^t(cos t+sin t) Longrightarrow I=e^t(cos t+sin t)2+C

Resposta

integral e^tcos t,dt =e^tl(sin t+cos tr)2+C

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