Dado que
é uma família de soluções de dois parâmetros de
no intervalo (
), mostre que constantes
e
não podem ser calculadas de modo que um membro da família satisfaça as condições iniciais
. Explique por que isto não viola o Teorema 3.1.
Passo 1
O enunciado dá as seguintes informações e pede duas coisas claras:
- Informação: a família de soluções de dois parâmetros é
. - Informação: a equação diferencial é
no intervalo . - Informação: as condições iniciais requisitadas são
e . - Pergunta 1: mostrar que não existem constantes
e tais que um membro da família satisfaça simultaneamente e . - Pergunta 2: explicar por que isso não viola o Teorema 3.1.
Passo 2
Vamos calcular as derivadas de um membro geral da família para depois impor as condições iniciais (a ideia é ver o que os parâmetros
permitem).
- Diferenciando
temos
Mostro também que essa família realmente satisfaz a EDO: substituindo em
,
logo a família é solução para todo
(a identidade algebraica vale para qualquer
).
Passo 3
Agora imponho as condições iniciais sobre as expressões obtidas:
- Da condição
obtemos
Portanto
.
- Da condição
obtemos
Mas queremos
. Assim chegamos a
que é uma contradição.
Conclusão imediata: não existem constantes
e
que façam um membro da família satisfazer simultaneamente
e
.
Passo 4
Dou uma explicação mais estruturada e didática do porquê isso ocorre (útil para a prova):
-
A partir da forma geral da solução vemos que
. Portanto, para qualquer solução differentiável desta família, o valor de é sempre zero, independentemente de . Em palavras: a família obriga a inclinação no ponto a ser . Logo é impossível obter inclinação em . -
Podemos também derivar a família resolvendo a EDO por redução de ordem: definindo
obtemos a EDO de primeira ordem
ou em forma padrão
Resolvendo (em qualquer intervalo que não contenha
) obtemos
, i.e.
. Integrando
, que é a mesma família
. Dessa forma fica claro algebraicamente que
para qualquer solução dessa família.
Passo 5
Explico por que isso não viola o Teorema 3.1:
- O Teorema 3.1 (teorema de existência e unicidade para EDOs lineares de segunda ordem) exige que a equação esteja na forma padrão
com as funções
contínuas num intervalo que contenha o ponto inicial (aqui
). Para a nossa EDO, ao dividirmos por
para colocá‑la na forma padrão obtemos
ou seja
. A função
não é contínua em
(tem singularidade em
). Portanto a hipótese de continuidade do Teorema 3.1 falha no ponto
.
- Conclusão: o Teorema 3.1 simplesmente não se aplica ao problema com condição inicial em
. Como a hipótese do teorema não é satisfeita, a impossibilidade (ou a não unicidade) de soluções para certas condições iniciais não constitui contradição com o teorema. Em problemas com pontos singulares (aqui é um ponto singular porque o coeficiente de se anula) podem ocorrer tanto ausência de solução para certas condições iniciais quanto múltiplas soluções para outras condições iniciais.
Resposta
Não existem
tais que
e
(pois
e
, contradizendo
).
Isto não viola o Teorema 3.1 porque, ao reduzir a equação à forma padrão, surge , que não é contínua em
; assim as hipóteses do Teorema 3.1 não se aplicam em
.
Isto não viola o Teorema 3.1 porque, ao reduzir a equação à forma padrão, surge