Dado que y=c_{1}+c_{2} x^{2} é uma família de soluções de dois parâmetros de x y^{\prime \prime}-y^{\prime}=0 no intervalo ( -\infty, \infty ), mostre que constantes c_{1} e c_{2} não podem ser calculadas de modo que um membro da família satisfaça as condições iniciais y(0)=0, y^{\prime}(0)=1. Explique por que isto não viola o Teorema 3.1.

Passo 1

O enunciado dá as seguintes informações e pede duas coisas claras:
  • Informação: a família de soluções de dois parâmetros é y=c_{1}+c_{2}x^{2}.
  • Informação: a equação diferencial é x y^{\prime\prime}-y^{\prime}=0 no intervalo (-\infty,\infty).
  • Informação: as condições iniciais requisitadas são y(0)=0 e y^{\prime}(0)=1.
  • Pergunta 1: mostrar que não existem constantes c_{1} e c_{2} tais que um membro da família satisfaça simultaneamente y(0)=0 e y^{\prime}(0)=1.
  • Pergunta 2: explicar por que isso não viola o Teorema 3.1.

Passo 2

Vamos calcular as derivadas de um membro geral da família para depois impor as condições iniciais (a ideia é ver o que os parâmetros c_{1},c_{2} permitem).
  • Diferenciando y=c_{1}+c_{2}x^{2} temos
y' = 2c_{2}x,
y'' = 2c_{2}.
Mostro também que essa família realmente satisfaz a EDO: substituindo em x y'' - y',
x y'' - y' = x\cdot(2c_{2}) - (2c_{2}x) = 0,
logo a família é solução para todo x (a identidade algebraica vale para qualquer x).

Passo 3

Agora imponho as condições iniciais sobre as expressões obtidas:
  • Da condição y(0)=0 obtemos
y(0)=c_{1}+c_{2}\cdot 0^{2}=c_{1}=0.
Portanto c_{1}=0.
  • Da condição y'(0)=1 obtemos
y'(0)=2c_{2}\cdot 0 = 0.
Mas queremos y'(0)=1. Assim chegamos a
0 = y'(0) = 1,
que é uma contradição.
Conclusão imediata: não existem constantes c_{1} e c_{2} que façam um membro da família satisfazer simultaneamente y(0)=0 e y'(0)=1.

Passo 4

Dou uma explicação mais estruturada e didática do porquê isso ocorre (útil para a prova):
  • A partir da forma geral da solução vemos que y'(x)=2c_{2}x. Portanto, para qualquer solução differentiável desta família, o valor de y'(0) é sempre zero, independentemente de c_{2}. Em palavras: a família obriga a inclinação no ponto x=0 a ser 0. Logo é impossível obter inclinação 1 em x=0.
  • Podemos também derivar a família resolvendo a EDO por redução de ordem: definindo v=y' obtemos a EDO de primeira ordem
x v' - v = 0,
ou em forma padrão
v' - \frac{1}{x}v = 0.
Resolvendo (em qualquer intervalo que não contenha 0) obtemos v=Cx, i.e. y'=Cx. Integrando y=\frac{C}{2}x^{2}+D, que é a mesma família y=c_{1}+c_{2}x^{2}. Dessa forma fica claro algebraicamente que y'(0)=0 para qualquer solução dessa família.

Passo 5

Explico por que isso não viola o Teorema 3.1:
  • O Teorema 3.1 (teorema de existência e unicidade para EDOs lineares de segunda ordem) exige que a equação esteja na forma padrão
y'' + p(x)y' + q(x)y = g(x)
com as funções p(x),q(x),g(x) contínuas num intervalo que contenha o ponto inicial (aqui x_{0}=0). Para a nossa EDO, ao dividirmos por x para colocá‑la na forma padrão obtemos
y'' - \frac{1}{x}y' = 0,
ou seja p(x)=-\dfrac{1}{x}. A função p(x)=-1/x não é contínua em x=0 (tem singularidade em 0). Portanto a hipótese de continuidade do Teorema 3.1 falha no ponto x=0.
  • Conclusão: o Teorema 3.1 simplesmente não se aplica ao problema com condição inicial em x=0. Como a hipótese do teorema não é satisfeita, a impossibilidade (ou a não unicidade) de soluções para certas condições iniciais não constitui contradição com o teorema. Em problemas com pontos singulares (aqui x=0 é um ponto singular porque o coeficiente de y'' se anula) podem ocorrer tanto ausência de solução para certas condições iniciais quanto múltiplas soluções para outras condições iniciais.

Resposta

Não existem c_{1},c_{2} tais que y(0)=0 e y'(0)=1 (pois y(0)=c_{1}=0 e y'(0)=2c_{2}\cdot 0=0, contradizendo y'(0)=1).
Isto não viola o Teorema 3.1 porque, ao reduzir a equação à forma padrão, surge p(x)=-\dfrac{1}{x}, que não é contínua em x=0; assim as hipóteses do Teorema 3.1 não se aplicam em x=0.

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